Elektrodynamik und Relativitätstheorie

Wissenschaft Physik
#1

Hallo Experten,

Ich weiss, das Magnetismus sich irgendwie mithilfe der Relativitätstheorie erklären lässt (komplett geht es zwar nur mit QM, aber das ist hier erstmal egal). Dabei sagt man, dass magnetische Kräfte durch Lorentztransformationen beim Bezugssystemwechsel komplett verschwinden, sich also alleine durch die Coloumb-Kraft erklären lassen.

Das habe ich am Beispiel zweier gleichschnell nebeneinander herfliegender Elektronen nachgerechnet und ich komme auf das korrekte Ergebnis. Skizze:

o -->

o -->

Dann habe ich mir noch eine zweite Versuchsanordnung ausgedacht, an der meine Rechnungen jedoch scheitern. Statt nebeneinander fliegen die Elektronen jetzt hintereinander:

o --> o -->

Da sich die beiden gleichschnell bewegen, kann ich mich in ihr gemeinsames Ruhesystem versetzen. In diesem wirkt nur eine Coloubkraft, die ich so ausdrücken kann:

F = q^2/(4pi eps0 r^2)

q soll die Elementarladung sein, r der Abstand zwischen den Elektronen und eps0 die Feldkonstante. Nun versetze ich mich wieder in das ursprüngliche Inertialsystem zurück, in welchem sich die Teilchen mit v bewegen. Dabei ist v wie oben gesagt parallel dem Abstandsvektor der beiden Elektronen. Ich setze für meine Rechnungen der Einfachheit halber c = 1. Longitudinale Beschleunigungen wie hier transformieren sich dann mit dem Faktor (1-v^2)^(3/2). Entsprechend auch die Kräfte. Ausserdem muss ich den Abstand r’ = r (1-v^2)^(1/2) wegen der Lorentzkontraktion transformieren. In r’ ausgedrückt ist dann die Kraft F’ gegeben durch

F’
= F * (1 - v^2)^(3/2)
= q^2/(4pi eps0 r^2) * (1 - v^2)^(3/2)
= q^2/(4pi eps0 (r’/(1-v^2)^(1/2))^2) * (1 - v^2)^(3/2)
= q^2/(4pi eps0 (r’)^2) * (1 - v^2)^(5/2)

Das sieht nicht nur komisch aus, sondern stimmt auch überhaupt nicht mit dem überein, was ich mittels zusätzlicher Lorentzkraft bei vernachlässigung relativistischer Effekte ausrechnen würde. Diese verschwindet nämlich nach meinen Berechnungen (nach Biot-Savart) bei dieser Anordnung gerade. Also würde ich eine ganz normale Coloumb-Anziehung bei Abstand r’ erwarten:

F’ = q^2/(4pi eps0 (r’)^2)

Stelle ich mir das ganze zu einfach vor? Ich dachte immer, wenn man magnetische Effekte berücksichtigt kann man auf SRT verzichten und umgekehrt. Brauche ich statdessen eine Mischung aus beidem? Ich habe auch ein lorentzkontrahiertes elektrisches Feld in betracht gezogen, aber damit wird mein Ergebnis auch nicht besser :frowning:

Danke für jede Antwort!
MfG IGnow

#2

Es stimmt schon, dass man zwischen elektromagnetischem Modell und SRT mit Elektromagnetismus wählen kann.

Ich vereinfache dein Modell zu folgendem:
Wir befinden uns im Ruhesystem, mit 2 Elektronen im Abstand r.
System S:
o o

Im System S’ geben wir einen Boost entlang der gemeinsamen Achse:

o–> o–>

Im System S kann man die Kraft folgendermaßen schreiben:

F = A/r^2 (wobei A alle Konstanten beinhaltet, diese ändern immerhin nichts an der Rechnung.)

Im System S ist das B - Feld gleich null.

Im System S’ gilt dann:

F’ = A/r’^2 = A * (1 - v^2/c^2) /r^2 = A * ( 1/r^2 - v * v/(c^2 * r^2 ) )

Dabei setzt sich das Magnetfeld aus v/r^2 * Konstante zusammen.

Mit Biot-Sarvat dürftest du eigentlich auf B-Feld ungleich 0 kommen. Poste am besten deine Rechnung, würde mich interessieren :smile:

#3

Hi
und schonmal danke für deine Antwort :wink:

Zunächst erstmal meine Rechnung nach Biot-Savart. Aufgrund meiner fehlenden TeX-Kentnisse leider nur als Plaintext. Die allgemeine Formel ist ja

B® = mu0 / (4pi) * Intgeral (j(r’) x (r - r’) / |r - r’|^3) dr’

wobei das Integral über den gesamten Raum läuft. j ist die Stromdichte, mu0 wieder die entsprechende Feldkonstante und das x steht für Kreuzprodukt.

Da ich mich für das B-Feld einer Punktladung (sagen wir bei r = 0, das macht es einfacher) interessiere habe ich als Stromdichte j ja j(r’) = q * v * delta(r’). Dabei ist delta das Dirac-Delta, q die Ladung und v die Relativgeschwindigkeit der Ladung. Durch das delta verschwindet im wesentlichen auch das Integral und es bleibt

B® = q * mu0 / (4pi * |r|^3) v x r

Bei unserer Versuchsanordnung ist aber r parallel zu v, daher das Kreiuzprodukt 0 und damit auch B. Stimm das soweit?

Mir ist aber eine allgemeine Verständnissfrage gekommen als ich mir deine Rechnungen so durchgelesen habe. Was bedeutet eig „elektrisches Feld“ in der SRT? Im Klassischen ist es ja E = F/q. Ist das auch die Definition in der SRT und steht dann F für die Änderung des relativistischen Impulses oder nachwievor für Beschleunigung mal Ruhemasse?

Im ersten Fall sehe ich ein, dass ich eine Kraft beim Bezugssystemwechsel nicht Transformieren brauche (also auch das E-Feld nicht), da ja die Änderung des relativistischen Impulses sich nicht ändert. Dann aber bekomme ich Probleme bei meiner Anordnung mit den nebeneinander herfliegenden Ladungen. Dazu aber erst, wenn ich weis was Phase ist.
Im anderen Fall: müsstest du dann nicht die Kraft vom System S nach S’ wie die Beschelunigung mit einem Faktor (1-v^2)^(3/2) versehen, wie ich es in meinem ursprünglichen Post getan getan habe?

Übrigens: Falls du eine gute Website, ein Skript oder auch Buch hast, das diesen Sachverhalt gut erklären kann, dann immer her damit. Mich interessiert vorallem, wie E-Feld, bzw. B-Feld definiert sind, da ich nicht weiss wie ich mit diesen zu rechnen habe, soweit ich nicht weiss, was sie genau sind, und wie man sie (im relativistischen) messen kann.

Danke für jede Antwort :smile:
MfG IGnow