Hi allerseits,
bräuchte dringend Hilfe:
Ist (K,+,*) eine endlicher Körper und |K| gerade, so gilt x+x=0 für alle x aus K.
WARUM?!?!?!
Das ist zwar ziemlich elementar und auch vorstellbar, aber mit dem allegemeinen Beweis tue ich mich doch sehr schwer. Hoffe auf eine Menge guter Antworten.
Merci.
Fischmob
Hi Martin,
Ist (K,+,*) eine endlicher Körper und |K| gerade, so gilt
x+x=0 für alle x aus K.
Finde ich jetzt wenig intuitiv. Kurz gesagt: Ich bezweifle, daß das so ist. Man kann z.B. auf einer 4-elementigen Menge (nennen wir sie F4) sinnvolle Multiplikation und Addition definieren, so daß diese Menge eine Körperstruktur erhält. Müßte ich nachgucken.
Wenn das aber so ist, dann kann man schreiben:
x + x = 0
x = -x
1 = -1
(1 ist das Einselement der multiplikativen Struktur). Daß 1 = -1 ist, gilt nur in F2, nicht aber in so etwas wie F4.
Alles Vermutungen. Wenn du näheres brauchst, sag’s, dann schaue ich mal in meinen alten Vorlesungen nach.
Chris
Hallo zusammen,
Ist (K,+,*) eine endlicher Körper und |K| gerade, so gilt
x+x=0 für alle x aus K.
Finde ich jetzt wenig intuitiv. Kurz gesagt: Ich bezweifle,
daß das so ist.
finde ich auch, aber ich mußte den Beweis auch als Übungsaufgabe (für heute) (Du [Martin] studierst nicht zufällig in Aachen?) machen und bin von seiner Gültigkeit überzeugt :
in der Aufgabe davor wurde gezeigt, daß wenn für ein x ungleich 0 aus K ((K,+,*) ein endlicher Körper) n*x:=x+x+…+x gilt (n aus IN), dann gilt dies für alle Elemente aus K (weiterhin wurde gezeigt, daß falls es ein solches n gibt, und dieses minimal ist, n eine Primzahl ist).
Ersteres zeigt man wie folgt (nur skizzenhaft):
n*x=x+x+…+x=x*(1+1+…+1)=0, da x laut Vor. ungleich 0 und ein Körper stets nullteilerfrei ist muß (1+1+…+1)=0 sein. Daher gilt für ein beliebiges Element y aus K: n*y=y+y+…+y=y*(1+1+…+1)=y*0=0. (Bitte aufpassen, n ist nicht aus dem Körper, sondern n*x ist nur eine Kurzschreibweise für die Summe mit den n Summanden x)
Mit diesem (und wenigem anderen) Vorwissen kann man den Beweis dann in einem Satz führen:
Da zu jedem a aus K genau ein additives Inverses existiert, ist die Kardinalität (Anzahl der Elemente) von M:={x,y aus K|x+y=0, x ungleich y} gerade und der Schnitt von M und N:={x aus K|x+x=0}=K\M die leere Menge, sowie die Vereinigung von M und N gleich K und es folgt wegen |K| gerade auch |N| gerade, wegen 0 aus N (0+0=0) [und |N| gerade] gibt es ein x ungleich Null aus N mit x+x=0, so daß mit dem oben gezeigten Teil die Behauptung folgt.
Gruß
Sebastian