Wie weit muss man an’s Ufer ransegeln, um vom Wasserspiegel weg noch die oberste Spitze einer 2 Meter hohen Hafenmauer zu sehen?
(für meinen Neffen)
Danke im Voraus,
Wolf
Hallo,
ich habe mal gehört, daß die Linie die Meer und Himmel bilden etwa 12 km weit entfernt ist, wenn man direkt am Strand steht.
Angenommen die Person ist 2m groß, läßt sich daraus vielleicht etwas schließen.
Quelle allerdings unbekannt,
Marc
Hallo,
Wir betrachten hier eine ideal kugelfoermige Erde mit ihrem mittleren Erdradius von r=6371000m.
C
|
A-----B
| |
\ /
\ /
\ /
O
Besser geht das Bild leider hier nicht. O ist der Erdmittelpunkt, A der Beobachter, die Mauer steht auf B und reicht in die Hoehe bis zum Punkt C, die Hoehe, somit die Laenge BC sei h. Die Laengen AO und BO sind beide gleich dem Erdradius r. Der Winkel bei O im Dreieck ABO sei besagter Winkel theta.
Nun mache ich eine meist unrealistische Annahme: Der Beobachter liegt direkt auf der Erde (z.B. schwimmt im Meer). In diesem Fall ist der Winkel bei A im Dreieck ACO ein rechter Winkel und somit ist der Winkel beta bei B bekannt:
beta = 90 - theta
Mit dem Sinussatz koennen wir nu die Laenge der Seite h+r fuer einen gegebenen Winkel theta ausrechnen:
r+x r
------- = -------------
sin(90) sin(90-theta)
und umschreiben auf theta liefert
theta = arcsin(r/(r+h)) - 90
wobei die Winkelangaben in Grad zu verstehen sind.
Ist die Hoehe h nun zwei Meter, so bekommen wir fuer theta 0,045 Grad, was bei ideal runder Erde mit besagtem Erdradius und Umfang U = 2 pi r eine Laenge von
l = U * theta / 360 = 5048m ergibt.
Wie weit muss man an’s Ufer ransegeln, um vom Wasserspiegel
weg noch die oberste Spitze einer 2 Meter hohen Hafenmauer zu
sehen?
Wie gesagt, der Beobachter schwimmt im Meer und hat gute Sicht. Ist er auf einem Schiff auf der Hoehe H, so sieht das ganze schon anders aus. wir koennen zwei solch oben beschriebener Dreiecke aneinanderfuegen und bekommen fuer den maximalen Abstand in Grad fuer einen Beobachter mit Augenhoehe H ueber dem Ozean und einer Hoehe h der Hafenmauer
theta_gesamt = theta_1 + theta_2 = arcsin(r/(r+H)) + arcsin(r/(r+h)) - 180
Nehmen wir jetzt 'mal an, auf Eurem Segelboot habe Dein Neffe eine Augenhoehe von 5m ueber dem Meeresspiegel, so ergibt sich eine maximale Sichtentfernung fuer die zwei Meter hohe Mauer von
theta = 0,117 Grad, was nach oben angegebener Formel 13030m entspricht. Wenn Ihr die Moeglichkeit habt, probiert’s 'mal aus (evtl. mit 'nem GPS oder so).
Die Abweichungen auf Grund der doch nicht so kugelfoermigen Erde duerfen nicht auffallen und liegen im Bereich von einigen Metern oder einigen 10 Metern. Die meiste reduktion der Sichtweite duerfte die Rauheit der See sein, da man nicht so gerade eben tangential dran vorbeigucken kann.
Gruss
Ingo
Hi Wolf,
nach meinem Taschenrechner 5.046 m, wenn in Schwimmlage mit den Augen über der Wasserlinie und der Mauer direkt am Wasser (das ist zwar Erbsenzählerei, aber bei der Genauigkeit muss das sein). Befindet er sich auf dem Segelboot, ist das abhängig davon, wie hoch seine Augen über dem Wasserspiegel sind.
Die Drei-Meilen-Zone ist möglicherweise aus so einer Überlegung heraus entstanden. Es steht jemand „in Wassernähe“ und schaut zum Horizont, der ist dann drei Meilen (sm) weit…
Gruß
Pat
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Ich bedanke mich ganz herzlich bei Euch für die rasche und wissenschaftlich-umfangreiche Antwort!
ciao,
Wolf