Geht alles.
Ich ergänze mal noch vorsichtig, da es eher umgangssprachlich ist und vielleicht nicht jeder und überall so empfindet:
Man kann „den Schnupfen“ haben, „die Erkältung“ eher nicht.
„Schnupfen haben“ (also ohne Artikel) ist in meiner Gegend absolut üblich.
Also: „Ich habe Schnupfen.“ oder „Ich habe einen Schnupfen.“ (Immer mit unbestimmtem Artikel!)
Bei einer Erkältung ist „Ich habe Erkältung.“ falsch. Hier gehört immer ein (ebenfalls unbestimmter) Artikel hin.
Einen bestimmten Artikel benutzt man bei „Schnupfen“ oder „Erkältung“ nicht.
„Ich habe den Schnupfen.“ - Nicht falsch, aber ungewöhnlich. Den Schnupfen - welchen denn genau?
Also ohne „eine“? Interessant. Wäre hier (Südwestfalen) recht ungewöhnlich.
Bei Krankheiten wird hier der unbestimmte Artikel eher nicht weggelassen, wohl aber bei Symptomen.
„Ich habe Schnupfen / Fieber / Schmerzen / Husten / Juckreiz.“
Bei Krankheiten wird er dagegen benutzt:
„Ich habe eine Erkältung. Ich habe einen Hexenschuss. Ich habe ein Ekzem.“
Ich weiß gar nicht mehr, wer als erstes so sprach (war es ein Comedian?):
„Ich hab’ Rücken.“
Das findet - ehemals komödiantisch verballhornt - seinen Weg in die Alltagssprache.
Da ist richtig, ich habe da zu früh gedacht, eine Regel erkannt zu haben.
Aus deinen Beispielen:
„Ich habe eine Grippe.“ - das wird hier tatsächlich so gesagt. Auch mal „Ich habe die Grippe.“ um zu verdeutlichen, dass man an der echten Grippe, also der Influenza, erkrankt ist.