nächste Woche möchte ich im Rahmen eines Projekts versuchen, Schülern das Abtasttheorem möglichst leicht verständlich zu präsentieren.
Das Abtasttheorem von Shannon besagt, daß die Abtastfrequenz mindestens doppelt so hoch sein muß wie die höchste Signalfrequenz:
f_abtast = 2 * f_max
Man kann sich das gut ausrechnen mit Fourier und so. Aber da die Schüler nie etwas von Fourier noch von Spektren gehört haben, möchte ich darauf verzichten. Ich möchte es ihnen mit dem zeitlichen Signal erklären.
Damit habe ich aber selber noch ein großes Verständnisproblem.
Also: Wenn meine Abtastfrequenz viel höher ist als die Frequenz einer abzutastenden Sinuskurve, dann habe ich so viele Stützstellen für die Kurve, dass ich sie bei einer anschließenden Digital-Analog-Wandlung einfach wieder herstellen kann.
Wenn meine Abtastfrequenz genau doppelt so hoch ist wie die Frequenz einer abzutastenden Sinuskurve, dann habe ich genau zwei Stützstellen pro Periode des Sinus. Ich kann Glück haben und die Stützstellen sind genau am Minimum und Maximum der Sinuskurve. Ich kann mir vorstellen, daraus bei einer anschließenden Digital-Analog-Wandlung den Ursprungssinus wiederzufinden.
Ich kann aber auch Pech haben, und die Stützstellen liegen irgendwo zwischen Minimum und Maximum der Sinuskurve. Bei einer anschließenden Digital-Analog-Wandlung fände ich dann zwar wieder einen Sinus der gleichen Frequenz, aber die Amplitude und die Phase wurden nicht stimmen.
Im Extremfall würden die Stützpunkte des Sinus sogar mit den Nullpunkten des Sinus zusammenfallen. Dann könnte ich den Sinus mit einer anschließenden Digital-Analog-Wandlung gar nicht mehr wiederherstellen.
Deswegen bin ich davon überzeugt, daß das Shannon’sche Abtasttheorem so nicht stimmen kann. Es findet ein Informationsverlust statt, auch wenn meine Abtastrate doppelt so hoch ist wie die maximale Frequenz meines Signals.
Ich hoffe aber, daß ich mich hier irre. Ich suche nun schon sehr lange nach einer Lösung. Leider konnte mir hier noch niemand weiterhelfen (ich mir selbst auch noch nicht). Es würde mich riesig freuen, wenn mir jemand sagen könnte, wo hier mein Denkfehler liegt und wie man es richtig betrachten muß. Oder stimmt das Shannon’sche Abtasttheorem letztendlich wirklich nicht?
Das Abtasttheorem von Shannon besagt, daß die Abtastfrequenz
mindestens doppelt so hoch sein muß wie die höchste
Signalfrequenz:
Falsch: sie muss größer sein als das doppelte der höchsten Signalfrequenz.
f_abtast = 2 * f_max
f_abtast > 2 * f_max
Also: Wenn meine Abtastfrequenz viel höher ist als die
Frequenz einer abzutastenden Sinuskurve, dann habe ich so
viele Stützstellen für die Kurve, dass ich sie bei einer
anschließenden Digital-Analog-Wandlung einfach wieder
herstellen kann.
Da fehlt noch was wesentliches: der nachgeschaltete ideale Tiefpass, der aus den ‚Treppen‘ des D/A-Wandlers wieder das Ursprungssignal erzeugt.
Wenn meine Abtastfrequenz genau doppelt so hoch ist wie die
Frequenz einer abzutastenden Sinuskurve, dann habe ich genau
zwei Stützstellen pro Periode des Sinus. Ich kann Glück haben
und die Stützstellen sind genau am Minimum und Maximum der
Sinuskurve. Ich kann mir vorstellen, daraus bei einer
anschließenden Digital-Analog-Wandlung den Ursprungssinus
wiederzufinden.
Nein. Wenn Du Minimum und Maximum erwischt, wer sagt Dir denn, dass das Minimum und Maximum sind?
Deswegen bin ich davon überzeugt, daß das Shannon’sche
Abtasttheorem so nicht stimmen kann. Es findet ein
Informationsverlust statt, auch wenn meine Abtastrate doppelt
so hoch ist wie die maximale Frequenz meines Signals.
Genau.
Oder stimmt das Shannon’sche Abtasttheorem letztendlich
wirklich nicht?
Doch. Vielfach überprüft. Rechnerisch und messtechnisch.
Gruß
loderunner
Das Abtasttheorem von Shannon besagt, daß die Abtastfrequenz
mindestens doppelt so hoch sein muß wie die höchste
Signalfrequenz:
Falsch: sie muss größer sein als das doppelte der
höchsten Signalfrequenz.
f_abtast = 2 * f_max
f_abtast > 2 * f_max
Das ist intuitiv recht klar wenn man sich vor Augen führt, dass man bei f_abtast = 2 * f_max genau die Nullstellen eines Sinussignals erwischen kann, von denen es ja zwei pro Periode gibt.
Das Abtasttheorem von Shannon besagt, daß die Abtastfrequenz
mindestens doppelt so hoch sein muß wie die höchste
Signalfrequenz:
f_abtast = 2 * f_max
Man kann sich das gut ausrechnen mit Fourier und so. Aber da
die Schüler nie etwas von Fourier noch von Spektren gehört
haben, möchte ich darauf verzichten. Ich möchte es ihnen mit
dem zeitlichen Signal erklären.
Damit habe ich aber selber noch ein großes Verständnisproblem.
Eigentlich war das Ganze auch für die Digitaltechnik, eigentlich Signaltechnik, gedacht, somit ist ein Sinus gar nicht die richtige Signalform.
Es ging also darum eine Abfolge von Nullen und Einsen sicher abzutasten.
Wenn nun
f_abtast > 2 * f_max
gegeben ist, gelingt dies auch.
Die Signaltechik ist manchmal etwas verwirrend, weil Bandbreiten einerseits in Bit/s und in Herz angegeben werden.
Das Ganze hat praktische Gründe, je nachdem von welchem Standpunkt man das Ganze betrachtet.
Statt
f_abtast = 2 * f_max muß es
f_abtast > 2 * f_max heißen und es muß sich um ein auf die Amplitude 1 normiertes Signal handeln. Damit kann man einen Sinus bekannter Amplitude wiedergeben. Ist die Amplitude des abzutastenden Signals unbekannt, muß man festlegen, mit welcher Auflösung die Amplitude erfaßt werden soll. Bei gewünschter Auflösung von z. B. 8 Bit erhöht sich die Abtastfrequenz um den Faktor 8 auf f_abtast > 8 * 2 * f_max.
Wegen diesen dramatischen Anstiegs der Abtastfrequenz realisiere ich akkubetriebene faseroptische Meßdatenübertragungsstrecken für eine Bandbreite des Nutzsignals von annähernd 100 MHz immer noch analog. Die Abtastrate für eine einfachere digitale Übertragung müßte für magere 8 Bit Auflösung bei 2 GHz liegen.
und es muß sich um ein auf die
Amplitude 1 normiertes Signal handeln.
Wo hast Du das her? Wäre mir neu. Und kann auch nicht stimmen, wie mir mein Digitaloszilloskop beweist. Und mein DSP-System, das ein digitales Filter berechnet.
Ist die Amplitude des
abzutastenden Signals unbekannt, muß man festlegen, mit
welcher Auflösung die Amplitude erfaßt werden soll. Bei
gewünschter Auflösung von z. B. 8 Bit erhöht sich die
Abtastfrequenz um den Faktor 8 auf f_abtast > 8 * 2 *
f_max.
Das kann ich erst recht nicht nachvollziehen. Wie kommst Du darauf? Mein digitales Filter hat einen völlig korrekten Frequenz- und Phasengang ohne Sprünge bis zur halben Abtastfrequenz. Und das bei einer Auflösung der Abtastung von 16Bit. Gemessen mittels (analogem) Network-Analyzer.
Wegen diesen dramatischen Anstiegs der Abtastfrequenz
realisiere ich akkubetriebene faseroptische
Meßdatenübertragungsstrecken für eine Bandbreite des
Nutzsignals von annähernd 100 MHz immer noch analog. Die
Abtastrate für eine einfachere digitale Übertragung müßte für
magere 8 Bit Auflösung bei 2 GHz liegen.
Keine Ahnung, was bei Dir schiefläuft. Jedes digitale Telefon und jedes Analogmodem kann das besser.
Btw., die Abtastrate einer CD liegt beim 2,2fachen der höchsten Signalfrequenz. Auflösung: 16Bit. Funktioniert recht anständig, ohne normierte Amplituden und unter Berücksichtigung der nichtidealen Filter (deshalb 2,2 und nicht 2,00000…1).
Sorry, offenkundig sah ich nicht genau genug hin. Ich las tatsächlich ganz was anderes und weiß nicht mal mehr, was ich glaubte, gelesen zu haben. Ist das jetzt der beginnende Verfall?
Btw., die Abtastrate einer CD liegt beim 2,2fachen der
höchsten Signalfrequenz. Auflösung: 16Bit. Funktioniert recht
anständig, ohne normierte Amplituden…
Auf einer CD gibts keine analogen Aufzeichnungen. Es handelt sich um digitalisierte Signale ohne Information in der Amplitude oder anders ausgedrückt mit auf den Wert 1 normierter Amplitude. Die Verhältnisse gestalten sich in der von mir beschriebenen Art, sobald eine Information nicht nur in der Frequenz, bzw. in Nulldurchgängen liegt, sondern zusätzlich in der Amplitude.
Btw., die Abtastrate einer CD liegt beim 2,2fachen der
höchsten Signalfrequenz. Auflösung: 16Bit. Funktioniert recht
anständig, ohne normierte Amplituden…
Auf einer CD gibts keine analogen Aufzeichnungen. Es handelt
sich um digitalisierte Signale ohne Information in der
Amplitude oder anders ausgedrückt mit auf den Wert 1
normierter Amplitude. Die Verhältnisse gestalten sich in der
von mir beschriebenen Art, sobald eine Information nicht nur
in der Frequenz, bzw. in Nulldurchgängen liegt, sondern
zusätzlich in der Amplitude.
Sorry, wovon redest Du eigentlich?
Eine CD beinhaltet die Abtastdaten eines analogen Signals, das mit dem 2,2fachen der höchsten Signalfrequenz in einer Auflösung von 16Bit abgetastet wurde und das in einem CD-Player wieder in ein analoges Signal zurückgewandelt wird, wobei die nicht normierte Amplitude und Phasenlage des analogen Signals selbstverständlich zurückgewonnen werden. Die Signale auf der CD sind selbstverständlich analog, wobei allerdings nur zwei Pegel ausgewertet und als Digitaldaten interpretiert werden.
Wofür ist das Abtasttheorem denn gedacht, wenn nicht für diese Anwendung?
Btw., durch QAM (http://de.wikipedia.org/wiki/Quadraturamplitudenmodu…) kann man mit einem Analogsignal durchaus sehr effizient digitale Daten übertragen (siehe Modem), was aber nun gar nichts mit dem Abtasttheorem an sich zu tun hat.
Sorry, offenkundig sah ich nicht genau genug hin. Ich las
tatsächlich ganz was anderes und weiß nicht mal mehr, was ich
glaubte, gelesen zu haben. Ist das jetzt der beginnende
Verfall?
Hmm, entweder du spülst deine Arterien mal mit Entkalker durch und hoffst auf eine Verbesserung oder du gibst dem Wetter die Schuld )
Eigentlich war das Ganze auch für die Digitaltechnik,
eigentlich Signaltechnik, gedacht, somit ist ein Sinus gar
nicht die richtige Signalform.
Es ging also darum eine Abfolge von Nullen und Einsen sicher
abzutasten.
Sorry, aber das ist Unsinn. Bei dem Abtast-Theorem geht es ja quasi um die Wandlung von Analog nach Digital, und somit ist auch ein Sinus zulässig. (Eigentlich sogar NUR Sinus-Signale, bzw. Summen von Sinus-Signalen
Ich kann aber auch Pech haben, und die Stützstellen liegen
irgendwo zwischen Minimum und Maximum der Sinuskurve. Bei
einer anschließenden Digital-Analog-Wandlung fände ich dann
zwar wieder einen Sinus der gleichen Frequenz, aber die
Amplitude und die Phase wurden nicht stimmen.
Im Extremfall würden die Stützpunkte des Sinus sogar mit den
Nullpunkten des Sinus zusammenfallen. Dann könnte ich den
Sinus mit einer anschließenden Digital-Analog-Wandlung gar
nicht mehr wiederherstellen.
Ich hatte genau diese Überlegungen früher auch schon gemacht - 100%ig schlau bin ich aber leider immer noch nicht…
Also ich glaube, ertens ist das wichtig, was hier schon gesagt wurde, nämlich dass die Frequenz größer sein muss (also nicht größer-gleich).
Jetzt wirst du sicherlich dein Beispiel leicht abändern wollen und z.B. ein 1000 Hz Sinus mit 2001 Hz abtasten. Ab und zu trifft man dann mit der Abtastung auf die Bäuche und manchmal auf die Nullstellen.
Ab jetzt muss ich leider etwas spekulieren: Wenn man das diskrete Signal später wieder nach analog wandeln will, dann muss man ja quasi ein Analogsignal suchen, welches auf die ‚Stützstellen‘ passt UND keine Frequenzen oberhalb 1000,5 Hz enthält. Und ich glaube, das eingangs gesampelte Signal ist wirklich das einzige Signal, für das das möglich ist. z.B. würde ein an- und abschwellender 1000Hz Sinus (sozusagen AM-moduliertes Signal mit 1000 Hz Träger) vermutlich auch höhere Anteile enthalten, obwohl er eigentlich auch durch die Stützstellen passen würde…
Auf einer CD gibts keine analogen Aufzeichnungen. Es handelt
sich um digitalisierte Signale ohne Information in der
Amplitude oder anders ausgedrückt mit auf den Wert 1
normierter Amplitude. Die Verhältnisse gestalten sich in der
von mir beschriebenen Art, sobald eine Information nicht nur
in der Frequenz, bzw. in Nulldurchgängen liegt, sondern
zusätzlich in der Amplitude.
Das stimmt nicht. Wenn das Abtasttheorem erfüllt ist, kann man aus dem diskreten Siganl theoretisch das originale Analogsignal später wieder völlig verlustfrei zurückgewinnen.
Das stimmt nicht. Wenn das Abtasttheorem erfüllt ist, kann man
aus dem diskreten Siganl theoretisch das originale
Analogsignal später wieder völlig verlustfrei zurückgewinnen.
Da muss ich dir wiedersprechen !!
Das einzige was du wieder restaurieren kannst ist die Frequenz.
Mit der Abtastung:
0, 10, 0, -10
Erekennst du dass fx = 1/4 * Ftast ist.
Aber ob das Signal sinus-, rechteck-, dreieck- oder sonst eine Form hat, kannst du daraus nicht ableiten.
Ich bleibe bei meiner Aussage, dass alle Infos des Original-Signals erhalten bleiben.
Beispielsweise kann das von dir erwähnte (ziemlich hochfrequente) Rechtecksignal nicht das Ursprungssignal sein, da ein Rechtecksignal auch immer Oberwellen (also Vielfache der Grundfrequenz) enthält. Diese Oberwellen sind aber größer-gleich der halben Abtastfrequenz, womit das beschriebene Rechtecksignal unzulässig ist. Hättest du das Rechtecksignal erst auf einen Tiefpass gegeben, um die illegalen Oberwellen wegzufiltern, dann wäre das Ergebnis nach dem Tiefpass alles andere als ein Rechteck. Ich glaube, dass wäre dann sogar ein Sinus, bin mir auf die Schnelle aber nicht sicher…
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Mit der Abtastung:
0, 10, 0, -10
Erekennst du dass fx = 1/4 * Ftast ist.
Aber ob das Signal sinus-, rechteck-, dreieck- oder sonst eine
Form hat, kannst du daraus nicht ableiten.
Ich bleibe bei meiner Aussage, dass alle Infos des
Original-Signals erhalten bleiben.
Beispielsweise kann das von dir erwähnte (ziemlich
hochfrequente) Rechtecksignal nicht das Ursprungssignal sein,
da ein Rechtecksignal auch immer Oberwellen (also Vielfache
der Grundfrequenz) enthält. Diese Oberwellen sind aber
größer-gleich der halben Abtastfrequenz, womit das
beschriebene Rechtecksignal unzulässig ist. Hättest du das
Rechtecksignal erst auf einen Tiefpass gegeben, um die
illegalen Oberwellen wegzufiltern, dann wäre das Ergebnis nach
dem Tiefpass alles andere als ein Rechteck.
Icg gebe dir Recht, dass das kein vernünftiges Rechteck mehr ist.
ABer du kannst nicht unterscheiden ob da die erste Oberwelle hinzugemicht ist oder nicht !
Somit kannst du bei Mischfrequenzen nicht mehr alle Informationen des Originalsignals mehr restaurieren !!
Deine Aussage gilt nur unter der Bedingung, dass du eine einzelne Frequenz vorliegen hast, was aber etwas praxisfremd ist.
Dein Rechteck hatte 1/4 Abtastfrequenz. Die erste Oberwelle hat natürlich die doppelte Grundfrequenz, womit wir schon wieder bei der halben Abtastfrequenz liegen. Somit ist diese Frequenz aber leider schon wieder ‚illegal‘, weil die Abtastfrequenz dann nicht mehr größer als doppelt ist…
Dein Rechteck nach dem Tiefpass ist also wirklich nur ein ordinärer Sinus. Und Oberwellen darf dieser Sinus nicht haben, sonst wäre Shannon verletzt!!
Und glaube mir, hättest du nicht so einen hochfrequentes Rechteck-Signal gewählt, sondern z.B. ein Sinus-Signal mit 1/10 f_Abtast und einen überlagerten Sinus mit 2/10 f_Abtast, dann stecken beide später auch in der Abtastfolge drin. => vgl. Überlagerungssatz.
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