Hi ich bin sven und verstehe folgende Formel nicht:
Betrag(a*b)²/Betrag(a)²*Betrag(b)² wobei a und b Vektoren sind.
Der Betrag von (a*b) ist die Projektion von Vektor a auf b (nennen wir ihn c). Durch die Division der Längen von a und b (wobei eines der beiden normiert ist) erhält man den Anteil des projezierten Vektors c auf b.
Jetzt die Frage: Wieso wird der Betrag von a*b quadriert?
Vielen Dank im voraus…
Sven
Hi ich bin sven und verstehe folgende Formel nicht:
Betrag(a*b)²/Betrag(a)²*Betrag(b)² wobei a und b Vektoren
sind.
Hallo Sven,
Wenn du einen Vektor a orthogonal auf einen anderen Vektor b projezieren willst, dann muss b die Länge 1 haben, deshalb normiert man ihn vorher, d.h. man skaliert ihn mit dem Kehrwert seiner eigenen Länge
Die Projektion von a auf b ist dann
\frac{a\cdot b}{|b|}
Diese Projektion gibt dir quasi die Länge des Teils von b an der in a steckt.
Da ||b|| eine Wurzel ist, quadriert man das ganze häufig um nicht immer die Wurzel schreiben zu müssen.
\frac{(a\cdot b)^2}{|b|^2}
Wenn der zu projezierende Vektor a selbst ein Einheitsvektor sein soll, kann man den vor der Projektion ebenfalls normieren zu
\frac{a}{|a|}
Wenn man diesen Vektor projeziert erhält man
\frac{a\cdot b}{|a||b|}
und quadriert deine Formel. Das ganze kann man dann auch als Projektion von b auf a sehen, das geht dann in Richtung Winkelberechnung. Es gilt nämlich
\cos(\alpha)=\frac{a\cdot b}{|a||b|}
wobei α der Winkel zwischen a und b ist.
Ich hoffe, das beantwortet deine Fragen, ansonsten müsstest du mal schreiben, in welchem Zusammenhang dir diese Formel begegnet ist.
Gruß
hendrik
Hallo Hendrik,
danke für die schnelle Antwort.
Diese Formel beschreibt das Verhältnis von Eigenvektoren in der Schwingungstechnik. Hierbei werden die Schwingungsformen eines Bauteiles ohne Randbedingungen und mit Randbedingungen verglichen. Somit kann bestimmt werden, welche Moden einzelner Bauteile welchen Einfluss auf das Gesamtbauteil hat. Dies wird mit einem Gewichtungsfaktor mit dieser Formel bestimmt.
Wenn ich jetzt aber den Ausdruck Betrag(a*b)/Betrag(a)*Betrag(b) aus komfortgründen quadriere, quadriere ich auch den Gewichtungsfaktor und verändere somit aber auch die Relation zueinander…
Sven