hi,
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cantor#Beweis
Da ist die Menge M definiert als Menge alle X, die in der
Menge A sind mit der Eigenschaft, dass wenn man sie in die
Abbildungsfunktion f einsetzt, nicht ihr eigenes Bild
erzeugen. Habe ich die Menge so richtig aufgefasst?
nicht wirklich.
der beweis nimmt eine abbildung f: A --> Pot(A) an und beweist, dass so eine abbildung nicht surjektiv sein kann, indem er die annahme der surjektivität auf einen widerspruch führt.
es wird M = {x aus A mit: x nicht aus f(x)} definiert, also alle diejenigen x aus M, die in der jeweiligen menge f(x) nicht enthalten sind.
wie groß diese menge M ist, hängt von f ab. ist f die abbildung
f(x) = {x} (wie das im wikipedia-beispiel zunächst genannt wird - als beispiel einer injektiven abbildung), dann ist M leer, denn dann sind alle x aus f(x)
Falls ja, was bedeutet diese? Ist sie einfach willkürlich
gewählt?
willkürlich ja, im sinne von geschickt / vorausschauend konstruiert.
Wie soll man denn Teilmengen aus x erstellen, ohne dass x drin
vor kommt?
du kannst teilmengen von A konstruieren und sie elementen von A zuordnen, sodass diese elemente nicht in den ihnen zugeordneten teilmengen drin sind. das ist kein problem, z.b.:
A = N, f(x) = { x+1, x+2, …}
also z.b.: f(5) = {6, 7, 8, …}
Irgendwie verstehe ich den Beweis nicht.
jetzt gehts um die surjektivität. wäre so eine abbildung
f: A --> Pot(A) surjektiv, müsste es zu jeder teilmenge von A (= jedem element von Pot(A)) ein x aus A geben.
da das konstruierte M eine teilmenge von A ist, müsste es also irgendein element von A (nennen wirs a) geben, sodass
f(a) = M
dann ist aber die aussage
a aus f(a) äquivalent mit
a aus M, (denn f(a) = M),
weil aber M = {x aus A mit: x nicht aus f(x)} ist, ist a aus M äquivalent mit a nicht aus f(a)
also wären „a aus f(a)“ und „a nicht aus f(a)“ äquivalent. also kann es keine surjektive abbildung zwischen einer beliebigen menge A und ihrer potenzmenge Pot(A) geben.
Könnte ihn vielleicht jemand mit Kommentaren versehen, damit
man weiß, was da in Symbolschreibweise steht?
Ich hab schon gegoogled und in books.google.de hab ich bis
jetzt noch keine Erläuterungen zu diesem Beweis gesehen, nur
den Beweis selbst.
hth
m.