Hallo tar,
es ist immer ein wenig schwierig, auf Fragen zu antworten, wenn der Sachverhalt etwas ungeordnet dargestellt wird. Ich versuche daher, mal ein bißchen Ordnung in die Sache zu bekommen und die Fragen der Reihe nach zu beantworten.
Im Sozialgerichtsverfahren ist es wie bei anderen Gerichtsverfahren auch so, dass die Parteien des Verfahrens das Recht haben, sich zur Sache zu äußern. Das kann schriftlich geschehen oder in einer mündlichen Verhandlung.
Im vorliegenden Fall will sich das Gericht in einer mündlichen Verhandlung einen Überblick über die vorgetragenen Argumente verschaffen. Natürlich werden in dieser Verhandlung die wesentlichen Aussagen der Parteien protokolliert (vom Berichterstatter - das ist der Richter, der die Einladung geschickt hat - diktiert und dann aufgeschrieben). Und natürlich fließen diese Aufzeichnungen in ein möglicherweise zu erlassendes Urteil ein.
Während der mündlichen Verhandlung, normalerweise im Anschluss an die Aussagen der Parteien, kann das Gericht mit den Parteien auch über einen Vergleich diskutieren. Werden sich die Parteien über einen Vergleich einig - und nur dann - wird dieser Vergleich protokolliert und schließt das Verfahren ab. Es gibt danach keinerlei ordentliches Rechtsmittel mehr. Wenn eine der Parteien nachher merkt, dass sie mit dem Vergleich doch nicht zufrieden ist, kann sie den Vergleich nur anfechten, wenn sie nachweisen kann, dass sie getäuscht wurde oder Tatsachen aufgetreten sind, die während der mündlichen Verhandlung unverschuldet nicht bekannt waren. In der Praxis ist das nahezu ausgeschlossen. Wenn jemand in einer mündlichen Verhandlung einen Vergleich angeboten bekommt, muss er also sehr gut überlegen, ob er damit einverstanden ist.
Kommt kein Vergleich zustande, muss das LSG ein Urteil fällen. Nach dem Sozialgerichtsgesetz wird dieses Urteil normalerweise nach Schluss der mündlichen Verhandlung gefällt. In dem Erörterungstermin müssen die Parteien also genau aufpassen. Erklärt der Richter nachdem er die Parteien angehört hat und über einen Vergleich nicht verhandelt wurde oder die Verhandlungen ergebnislos waren, dass die mündliche Verhandlung jetzt geschlossen ist, kann gleich ein Urteil ergehen. Manchmal gibt das Gericht den Parteien nach dem Erörterungstermin aber auch noch die Möglichkeit sich innerhalb einer bestimmten Frist nochmal schriftlich zu äußern. Dann ergeht in dem Termin selbst kein Urteil.
Es kann aber nauch sein, dass das Gericht sich, obwohl die mündliche Verhandlung geschlossen wurde, noch beraten will. Dann hat das Gericht bis zwei Wochen nach dem Termin Zeit, das Urteil zu fällen. Auch das wird den Parteien in dem Termin gesagt.
Fällt das LSG ein Urteil, ist dagegen die Revision zum Bundessozialgericht nur zulässig, wenn dies vom LSG ausdrücklich zugelassen wird. Und dafür gibt es einige Einschränkungen, beispielsweise, weil das LSG denkt, dass die Sache auch für viele andere Fälle wichtig sein kann (grundsätzliche Bedeutung). Sonst ist die Revision nicht zulässig. Die Parteien können sich beim BSG nur beschweren, dass die Revision nach ihrer Meinung doch hätte zugelassen werden müssen. Aber auch diese Beschwerden haben in der Praxis nur ganz selten Erfolg.
So, das ist jetzt ziemlich viel Text, aber ich hoffe, Du kannst damit was anfangen. Sonst frag einfach nochmal weiter.
Viele Grüße
Ewurscht