Hi
Gerd hat das Wesentliche ja schon (korrekt) gesagt. Daher nur noch ergänzend, allgemein:
Den Anspruch auf Erstausstattung regelt § 24 SGB II (wie Gerd schon nannte) und § 31 SGB XII.
Für die nach Trennung notwendigen Erstausstattungs-Leistungen es ist den jeweiligen Jobcentern (bzw. Sozialämtern) überlassen, ob sie einen Bar-Zuschuss gewähren oder aber Gutscheine (z.B. für’s Gebrauchtmöbel-/ Sozialkaufhaus). Bei Matratzen besteht Anspruch auf Neuware. Wichtig ist, dass man seinen Antrag nachweislich und im Voraus stellt (also bevor man sich etwas kauft) und dass man eine schriftliche Bewilligung hat.
Dazu auch hier, Punkt „Erstausstattung“: http://hartz.info/index.php?topic=24.0 ;in der darin verlinkten Broschüre: ab Seite 35.
(Das darin noch genannte TV-Gerät gehört mittlerweile nach Urteil des Bundessozialgerichts nicht mehr zur notwendigen Grundausstattung; die Jobcenter sollen dafür aber auf Antrag ggf. ein Darlehn gewähren.)
Frau bezieht nun ALGII, der Mann zur Zeit ALGI.
Ob der Mann Anspruch auf eine Erstausstattung nach Trennung hat, käme auf seine persönliche Einkommens- und Vermögenssituation an (wir wissen ja nicht, wie hoch sein ALG1 ist). Das wird aber ggf. beim Antrag überprüft.
Muss/sollte der Mann die Hälfte des Inventars mitnehmen?
FALLS der Mann bedürftig ist, steht das Jobcenter ihm gegenüber in der Leistungspflicht u. muss seinen nötigen Bedarf dann sichern, wenn er „aktuell“ ist. http://hartz.info/index.php?topic=10.0
Es kann natürlich sein, dass im Rahmen eines Trennungs-/ Scheidungsverfahrens auch die Herausgabe von Gegenständen des bisherigen gemeinsamen Haushalts ein Thema wird (das sollte man mit seinem Anwalt besprechen) . Das Jobcenter darf dem Mann aber -bei Bedürftigkeit- nicht eine „aktuell“ notwendige Erstausstattung vorenthalten, weil ihm möglicherweise, irgendwann mal, von der Frau Haushaltsgegenstände herausgerückt werden (könnten).
LG