Hallo allerseits,
ich möchte zeigen, dass
S² = 1/(n-1) Summe((X(k) - M(X))^2
ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz einer Zufallsgröße Y ist. ( (k) soll der Index von X sein und M(X) der Mittelwert „X quer“, die Summe läuft von k=1 bis n)
Dazu muss man ja zeigen, dass
E(S²) = var Y
ist.
Hier mein Lösungsweg, wo irgendwo noch ein Fehler sein muss, da ich nicht auf das richtige Ergebnis komme:
E(S²)
= E (1/(n-1) Summe((X(k) - M(X))^2))
= 1/(n-1) Summe(E((X(k) - M(X))^2))
= n/(n-1) E((X(1) - M(X))^2)
= n/(n-1) var(X(1) - M(X))
= n/(n-1) (var X(1) + var M(X))
= n/(n-1) (var Y + 1/n var Y)
= n/(n-1) (n+1)/n var Y
= (n+1)/(n-1) var Y
Wär wirklich nett, wenn mir jemand helfen könnte,
viele Grüße
Hier mein Lösungsweg, wo irgendwo noch ein Fehler sein muss,
da ich nicht auf das richtige Ergebnis komme:
E(S²)
= E (1/(n-1) Summe((X(k) - M(X))^2))
= 1/(n-1) Summe(E((X(k) - M(X))^2))
= n/(n-1) E((X(1) - M(X))^2)
Es gilt Var(Y)= E((X(1) - M(X))^2), daher würde folgen:
= n/(n-1) var(Y).
Mein Vorschlag: Mit
V(Y) = E(X²) - E(X)² folgt:
E(1/(n-1) Σ(X_k - M(X))²)
= E(1/(n-1) Σ(X_k - E(X))²)
= n/(n-1) * (E((X_1 - E(X))²))
= n/(n-1) * (E(X_1² - E(X)²))
= n/(n-1) * (E(X_1²) - E(E(X)²))
= n/(n-1) * (E(X_1²)-E(X)² - (E(E(X)²)-E(X)²))
= n/(n-1) * (V(Y) - (V(Y)/n+E(X)²-E(X)²))
= n/(n-1) * ((n-1)/n*V(Y))
= V(Y)
So, ich hoffe, ich hab mich jetzt nicht verklammert.
Es fliesst noch der Schätzer für den Standardfehler des Mittelwertes mit ein: E(E(X)² = V(Y)/n+E(X)², das zu beweisen sei dir überlassen
