Erwartungswert beim Würfeln,

Wissenschaft Mathematik
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Frage von meiner Tochter, 9. Klasse.

Beim gleichzeitigen würfeln mit 3 Würfeln werden 10 Münzen gezahlt, wenn GENAU eine 1 dabei ist, 20 Münzen bei GENAU zwei 1 und 30 Münzen bei drei 1.

Jeder Versuch kostet 5 Münzen.

Frage: Ist das Spiel fair? (vorgegebene Definition fair = Erwartungswert Null)

Mir ist klar, dass der Erwartungswert sich aus der Additon der einzelnen Wahrscheinlichkeiten * Zufallsergebnisse ergibt, also:

p1 x -5 Münzen (keine 1) + p2 x 5 Münzen (eine 1)

  • p3 x 15 Münzen (zwei 1) + p4 x 25 Münzen (drei 1)

Wie errechne ich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten?
(Bitte beachten, dass gleichzeitig gewürfelt wird und nicht nacheinander)

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Hallo,

Beim gleichzeitigen würfeln mit 3 Würfeln werden 10 Münzen
gezahlt, wenn GENAU eine 1 dabei ist, 20 Münzen bei GENAU zwei
1 und 30 Münzen bei drei 1.
Jeder Versuch kostet 5 Münzen.
Frage: Ist das Spiel fair? (vorgegebene Definition fair =
Erwartungswert Null)

Ja.

Wie errechne ich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten?
(Bitte beachten, dass gleichzeitig gewürfelt wird und nicht
nacheinander)

Es ist vollkommen egal ob gleichzeitig oder nacheinander gewürfelt wird.
Für je 3 Würfe (gleichzeitig oder „einzeln“) werden 5 gesetzt.
Für jede 1 gibt es 10 raus.
Die Wahrscheinlich einer 1 bei 3 Würfen ist 50%.Von 10 ist 50% =5
Zu zahlen ist für 3 Würfe =5.
Gruß VIKTOR

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Danke für die schnelle Antwort.
Leider hast Du mich mit dem Lösungsweg ziemlich im Dunkeln stehen lassen, so dass ich mich weiter mit dem Thema beschäftigt habe und auf folgende, in meinen Augen richtige(n) Lösung(sansatz) gekommen bin:

Zur Erläuterung gelten die folgenden Abkürzungen: keine 1 = 0
1 = 1

Für für das Ergebnis, dass alle 3 Wüfel keine 1 haben, gibt es die folgende Kombinationsmöglichkeit:
0,0,0 und somit als Wahrscheinlichkeit 5/6 x 5/6 * 5/6 = 57,87%

Für für das Ergebnis, dass 1 Wüfel eine 1 hat, gibt es die folgenden Kombinationsmöglichkeiten:
0,0,1 und somit als Wahrscheinlichkeit 5/6 * 5/6 * 1/6 = 11,57%
0,1,0 5/6 * 1/6 * 5/6 = 11,57%
1,0,0 1/6 * 5/6 * 5/6 = 11,57%
in Summe 34,72%

Für das Ergebnis, dass 2 Würfel eine 1 haben, gibt es die folgenden
Kombinationsmöglichkeiten:
0,1,1 5/6 * 1/6 * 1/6 = 2,31%
1,0,1 1/6 * 5/6 * 1/6 = 2,31%
1,1,0 1/6 * 1/6 * 1/6 = 2,31%
in Summe 6,94%

und drei 1 sind 1/6 * 1/6 * 1/6 = 0,46%

Probe: 0,46% + 6,94% + 34,72% + 57,87% = 100% = 1. Sollte also stimmen.
(Ergebnisse sind gerundet)

Erwartungswert: -5 Münzen * 57,87% = -2,8935
5 Münzen * 34,72% = 1,7361
15 Münzen * 6,94% = 1,0417
25 Münzen * 0,94% = 0,1157
in Summe 0,00

Das Spiel ist somit fair.

Wenn es einen kürzeren Weg zur Erechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten gibt wäre ich über eine kurze Info dankbar.

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Hallo,

Wenn es einen kürzeren Weg zur Erechnung der
Einzelwahrscheinlichkeiten gibt wäre ich über eine kurze Info dankbar.

wie Viktor schon richtig erkannt hat, braucht man die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse „genau eine Eins“, „genau zwei Einsen“ etc. hier gar nicht (!) berechnen. Der Grund dafür ist die besondere Form der Auszahlungsregel

genau eine Eins → 10 € Auszahlung
genau zwei Einsen → 20 € Auszahlung
genau drei Einsen → 30 € Auszahlung

Das kann man offensichtlich auch gleichwertig ausdrücken durch

für jede sichtbare Eins 10 € Auszahlung (*)

und damit kann man den Erwartungswert sofort angeben: Wenn Du z. B. 50 € ausgibst, um damit 10 dieser Spiele zu bestreiten, werden insgesamt 30 Würfel geworfen. 30/6 = 5 davon werden Einsen zeigen (im statistischen Mittel). Daraus resultiert gemäß (*) total 50 € Gewinn, also gerade soviel wie die Spiele gekostet haben ⇒ Erwartungswert = 0 ⇒ die Veranstaltung ist fair.

Bei einer Änderung der Auszahlungsbeträge z. B. zu 9€, 21 € und 32 € würde diese „Schnelllösung“ nicht mehr funktionieren. Dann wäre man gezwungen, die Wahrscheinlichkeiten auszurechnen und den Erwartungswert nach seiner Definition zu bestimmen:

(–5 + p1 · 9 + p2 · 21 + p3 · 32) €

Jetzt klarer geworden?

Gruß
Martin