Erweiterte Subtitution (E-Funktion)

Wissenschaft Physik
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Hallo,ich hoffe man kann das nachvollziehen:

Die Funktion lautet einmal:

(e^(-x))*((e^(-x)+1)^(2))

Davon soll man das Integral von 0- ln2 ausrechnen

Dann mache ich ja die Subtitution (Genau wie im Buch bzw. in den Lösungen),dann komme ich auf:
=(Integral von 2-(3/2))-u^(2)*du

So!Jetzt steht aber im Buch als nächstes das was ich nicht nachvollziehen kann,dass ist deren nächster Schritt:

[(-1/3)*u^(3)]–> 2 und 3/2 noch an Klammerende und Anfang der rechten Klammer,also Integralbereich.

Wie haben die das umgestellt um auf -1/3 zu kommen? und dass u hoch 3 wird?

Hab gerade ein Brett vorm Kopf -.-

Dann noch bei ner anderen Funktion:

Funktion lautet

2*e^(x)/(e^(x)-1)^(2)
Integralbereich ln2-ln4

Dann Substitution:

2du/(u)^(2)=2(Integralbereich 1-3)u^(-2)*du

Den nächsten Schritt versteht ich dann nicht,die rechnen in der Lösung so weiter:

=2[u^(-1)/-1](Integralbereich noch an der Klammer)
=2[-1/u]
=2[(-1/3)+1]
=4/3

Was haben die da gemacht? :wink: Wäre für Tipps dankbar

2

Moin,

es wurde immer einfach die Potenzfunktion integriert. Das müsst Ihr schon gehabt haben. Beim Ableiten wird ja der Exponent um 1 verringert, beim Integrieren wird er eben um 1 größer. Dann muss noch der Faktor davor angepasst werden. Die Stammfunktion von u2 ist dann 1/3 mal u3. Erinnerst Du Dich?

Olaf

3

Ja ich kann mich daran erinnern,ich habe es aber bei den ersten Aufgaben nicht gemacht bzw. nicht machen müssen mit Stammfunktion.

Bei der ersten würde es logisch sein,aber bei der 2.:

2du/(u)^(2)=2u^(-2)*du u = 2

also Integral (von 0 bis 2) 2 * exp(u) du

Wo hat er denn hier die Stammfunktion gebildet?
In der Zeile:

Integral 2 * exp(u) * du

?

Wenn ja,weiß ich nicht ganz genau was dass heißt,ich dachte das hieße

2* (e^(u))* du

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

4

Moin,

ich habe den Eindruck, Du versuchst was zu rechnen, das Du noch nicht vollständig verstanden hast. Ich finde es besser, wenn man erstmal richtig verstanden hat, worum es geht und was das soll, und dann ein paar Rechenregeln erlernt und dann das ganze übt.
Aber trotzdem:

2du/(u)^(2)=2u^(-2)*du 2 = u-2 OK?

Außerdem kannst Du den Ausdruck „du“ wie einen Faktor behandeln, und Faktoren kann man vertauschen.

=2[u^(-1)/-1]-2 ist somit -u-1.

Also mache ich immer nach der Subtitution die Stammfunktion
davon?

Die Frage zeigt eben, dass Dir der rote Faden nicht ganz klar ist.
Zum Integrieren muss man die Stammfunktion finden von dem, was da hinter dem Integralzeichen steht. Das geht manchmal einfach, durch „scharfes Hinsehen“, durch Probieren, durch Nachsehen in Formelsammlungen. Manchmal geht es auch nicht so einfach. Dann gibt es aber verschiedene Verfahren, die man probieren kann. Eins davon ist die Methode der Substitution. Die führt dann dazu, dass jetzt eine andere (in der Regel einfachere) Funktion hinter dem Integralzeichen steht, von der man besser die Stammfunktion finden kann.
Also: Mann muss nicht immer was substituieren.

Aufgabe
Integralbereich von 0-4
e^(0,5x)dx

Hier finde ich Substitution übertrieben, da kann man auch so die Stammfunktion finden. Diese enthält auf jeden Fall den Ausdruck e0,5x, weil die e-Funktion beim Ableiten (gewissermaßen das Gegenteil von „Stammfunktion finden“) erhalten bleibt. Allerdings kommt beim Ableiten ein Faktor „0,5“ von der inneren Ableitung dazu. Um den zu kompensieren, kommt bei der Stammfunktion noch der Faktor „2“ dazu. Die Stammfunktion von e0,5x ist somit 2e0,5x, wie man durch eine Probe (Ableiten) sofort sieht.

Mal ne Nebenfrage - weißt Du was der Unterschied zwischen einer Potenzfunktion und einer Exponentialfunktion ist?

Olaf

5

Moin,

ich habe den Eindruck, Du versuchst was zu rechnen, das Du
noch nicht vollständig verstanden hast. Ich finde es besser,
wenn man erstmal richtig verstanden hat, worum es geht und was
das soll, und dann ein paar Rechenregeln erlernt und dann das
ganze übt.

Hallo Olaf,dass hast du richtig festgestellt :smile: Unser Lehrer hat uns einfach Stoff gegeben,wo Beispielaufgaben sind. So 30 Seiten,diese Themengebiete wurden dann aufgeteilt. Wir sollen uns dass anschauen,bzw. selbst lernen zu verstehen! Wir sollen dann unsere Ergebnisse vorstellen und uns dass gegenseitig erklären.

Das Problem hierbei ist: Auf den Seiten finden sich nur sehr sehr magere Erklärungen,fast garnicht! Und ich versuche dass zu verstehen,indem ich die Regeln so gesehen ermittle.

Aber durch das was du gesagt hast,bin ich ein Stückchen weiter. Das verbindet sich nämlich mit einem Abschnitt wie man überprüfen kann ob die Stammfunktion richtig ist etc.

Ich glaube es ist verständlich dass ich es noch nicht so sehr verstehe,da mir die anderen Sachen wie z.B. Subtitution von ln-Funktionen oder Partielle Subtitution komplett fehlen. Das sollen mir die anderen erst „erklären“…

Tschuldigung das ich dir damit so viel Arbeit gemacht habe,aber es war auf keinen Fall umsonst. Ich verstehe es jetzt viel besser. Ich danke dir für die Mühe! Vielen Dank!

Wenn du jetzt denkst: Hmm warum hast du denn nicht im Internet nach den Themen gesucht? Habe ich,aber es kamen nur 2 Ergebnisse raus als ich es in die Suchmaschine eingegeben habe. Also man findet nicht wirklich was darüber…

Zur letzten Frage: Nicht auf Anhieb :wink:Also ich weiß nur dass eine Potenz eine Multiplikation der Basis ist wo der Exponent die Anzahl der Basis angibt.

Ich denke das ist das gleiche wie bei den E-Funktionen, bloß dass hier der Exponent durch eine Variable ergänzt bzw. ersetzt wird. Die Basis wird durch die Eulerische Zahl ersetzt,eine Konstante…?

6

Hallo,

ich war 2 Tage offline, deswegen erst jetzt ne Antwort.
Ich finde es gut, wie Du reagiert hast, manche sind ja auch gleich erstmal beleidigt. Allerdings verstehe ich echt Deinen Lehrer nicht. Es gibt ja verschiedene pädagogische Konzepte. Und es kann sehr sinnvoll und lehrreich sein, wenn Schüler sich selbst was erarbeiten und sich gegenseitig was erklären. Aber nur dann, wenn der rote Faden klar ist und die Grundlagen verstanden worden sind. Ansonsten kann es sogar schaden, und meistens frustriert es die Schüler. Durch dieses Rumstochern im Nebel wird vielen Schülern die Freude an der schönen Mathematik genommen.

Der Fall Potenz/Exponential-funktionen ist so ein Paradebeispiel. Viele Abiturienten können damit rechnen, wissen die Ableitungsregeln, können integrieren. Aber können nicht mal den (gewaltigen) Unterschied erklären. Beides sieht ja ähnlich aus… Also nur mal kurz: Bei Potenzfunktionen steht die Variable (in der Schule meistens x) in der Basis, und im Exponenten steht eine Zahl (eine Konstante). Also z.B. x2, x3 oder x10. Bei einer Exponentialfunktion steht in der Basis eine Konstante und im Exponenten das x oder eine Funktion von x. Also z.B. 2x oder 53x oder 10x oder eben auch ex. Wobei e eben auch eine Konstante ist. Leider denken viele Schüler, dass Exponentialfunktion und e-Funktion dasselbe sind, dabei ist die e-Funktion eben nur ein (allerdings häufig vorkommender) Sonderfall der Exponentialfunktion. Und das „e“ kommt eben nicht von „Exponential“ sondern von „Euler“.

Na OK. Natürlich bist Du hier im Forum richtig. Du suchst ja nach Antworten und willst wirklich was verstehen. Und das Fragen-beantworten hilft auch den Antwortenden, man sieht ja dadurch mal wieder, wo die Verständnis-Probleme liegen.

Olaf