Hallo!
Ihr kennt bestimmt die Kepler-Vermutung:
„Die dichtest mögliche Packungen von Kugeln gleicher Größe sind die kubisch-flächenzentrierte und die hexagonale Packungen.“
Bei beiden füllen die Kugeln bekanntlich ca. 74% des Volumens aus.
(Ich habe für die Kepler-Vermutung einen wunderbaren Beweis gefunden. Leider ist hier der Platz zu knapp, um ihn vollständig anzugeben). 
Um die Kepler-Vermutung soll es hier aber gar nicht gehen, sondern um ein ähnliches, wahrscheinlich noch komplizierteres Problem.
Wenn man sich zum ersten Mal mit der Thematik beschäftigt, ist es vielleicht überraschend, dass die Dichte der Kugelpackung nicht von der Größe der Kugeln abhängt. Zwar sind die Zwischenräume bei großen Kugeln größer, aber dafür sind auch die Bereiche, die zu 100% ausgefüllt sind, auch größer.
Ich bin nun darauf gestoßen, dass das nur dann gilt, wenn alle Kugeln gleich groß sind. Für Mischungen von Kugeln unterschiedlicher Größe sieht das anders aus: In einer hexagonalen Packung von großen Kugeln haben immer noch kleine Kugeln Platz in den Zwischenräumen. Also hat eine Mischung von sehr großen und sehr kleinen Kugeln eine größere Dichte als große Kugeln allein oder kleine Kugeln allein. (Chemiker können das bestätigen. Z. B. nimmt das Volumen bei der Mischung von reinem Wasser und reinem Alkohol ab).
Nun zu meiner Frage: Wie müsste denn das „Spektrum“ der Kugelgrößen aussehen, damit das Volumen bestmöglichst ausgefüllt wird? Hat sich schon einmal jemand damit beschäftigt, egal ob mathematisch oder experimentell?
Michael
P.S.:
Übrigens: Für dieses theoretisch klingende Problem gibt es eine ganz konkrete Anwendung. Beton besteht aus Zement(+Wasser), Sand und Kies. Der Zement muss die Zwischenräume zwischen den Sandkörnern und Kieseln ausfüllen. Vermutlich braucht man weniger Zement, wenn man ein „ausgewogenens“ Verhältnis von Sand und Kies verwendet. Lustigerweise hängt dieses Mischunsverhältnis wiederum von den relativen Korngrößen ab…
Nun zu meiner Frage: Wie müsste denn das „Spektrum“ der
Kugelgrößen aussehen, damit das Volumen bestmöglichst
ausgefüllt wird? Hat sich schon einmal jemand damit
beschäftigt, egal ob mathematisch oder experimentell?
Das war einfach: Ein Deltafunktional mit
„Integral von delta von V’ dV’ über V = V“,
also delta(V) = 0 für V nicht gleich 0, unendlich für V=0.
Spaß beiseite
Nun zu meiner Frage: Wie müsste denn das „Spektrum“ der
Kugelgrößen aussehen, damit das Volumen bestmöglichst
ausgefüllt wird? Hat sich schon einmal jemand damit
beschäftigt, egal ob mathematisch oder experimentell?
Man könnte einmal versuchen, die Zwischenräume sukzessive aufzufüllen.
Schon in 2 Dimensionen (Kreise) ist dies wohl nur schlecht per Kopfrechnen zu berechnen. Ist R der Radius nullter Ordnung, dann findet im Zwischenraum zwischen 3 Kreisen im trigonalen Gitter ein Kreis mit Radius R(1/cos(30) - 1) Platz (erste Ordnung). Nun hat man 3 Zwischenräume, in die man 3 Kugeln 2ter Ordnung stecken könnte.
Den Radius der Kugeln 2ter Ordnung zu bestimmen, würde für mich schon eine Kunst darstellen. Und wie es scheint, sind die dabei entstehenden 9 Zwischenräume nicht unbedingt gleich … Oder übersehe ich da etwas?
Per Cosinussatz erhält man für R2
(R+R2)²=(R+R2+2*R1)² +(2*R)²+2*(2*R)*(R+R2+2*R1)*cos(30)
Salut,
Nun zu meiner Frage: Wie müsste denn das „Spektrum“ der
Kugelgrößen aussehen, damit das Volumen bestmöglichst
ausgefüllt wird? Hat sich schon einmal jemand damit
beschäftigt, egal ob mathematisch oder experimentell?
Man könnte einmal versuchen, die Zwischenräume sukzessive
aufzufüllen.
Yup.
Schon in 2 Dimensionen (Kreise) ist dies wohl nur schlecht per
Kopfrechnen zu berechnen. Ist R der Radius nullter Ordnung,
Nennen wir den Radius i-ter Ordnung Ri.
dann findet im Zwischenraum zwischen 3 Kreisen im trigonalen
Gitter ein Kreis mit Radius R(1/cos(30) - 1) Platz (erste
Ordnung). Nun hat man 3 Zwischenräume, in die man 3 Kugeln
2ter Ordnung stecken könnte.
Den Radius der Kugeln 2ter Ordnung zu bestimmen, würde für
mich schon eine Kunst darstellen. Und wie es scheint, sind die
dabei entstehenden 9 Zwischenräume nicht unbedingt gleich …
Dem stimme ich zu. Nehmen wir jedoch an, daß sie hinreichend gleich sind, so läßt sich ein Potenzgesetz angeben, welches Anzahl Kugeln mit deren Radius verknüpft:
ni ∝ (2/α * R0 / Ri)i
mit einer Konstanten α, die den Zunahmefaktor der Kugelanzahl pro Radiusverminderung angibt - sollte bei etwa 3 liegen, stimmt aber nicht für R0 --> R1
Oder übersehe ich da etwas?
Ich denke nicht.
Gruß,
In *Experimentalmathematiker* go
Hallo!
Das war einfach: Ein Deltafunktional mit
„Integral von delta von V’ dV’ über V = V“,
also delta(V) = 0 für V nicht gleich 0, unendlich für V=0.
Ich glaube nicht, dass das geht, weil die unendlich vielen Kugeln auch unendlich mal wenig Luft = endlich viel Luft miteinschließen.
Trotzdem danke für die erste Antwort.
Michael
Hallo!
Schon in 2 Dimensionen …
Und in drei Dimensionen ist es noch dazu umso schwerer.
Gruß, Michael
Hallo!
Das war einfach: Ein Deltafunktional mit
„Integral von delta von V’ dV’ über V = V“,
also delta(V) = 0 für V nicht gleich 0, unendlich für V=0.
Ich glaube nicht, dass das geht, weil die unendlich vielen
Kugeln auch unendlich mal wenig Luft = endlich viel Luft
miteinschließen.
Ich glaube es auch nicht, da jedes Kügelchen ein Volumen (4*pi/3)(dx)³ hat. Um daraus V werden zu lassen, benötigt man schon eine entsprechende Verteilungsfunktion von Kügelchen verschiedener Volumina.
Aber die Aufgabe scheint mir nicht eindeutig bestimmt zu sein. Es gibt unendlich viele solcher Verteilungsfunktionen.
Trotzdem danke für die erste Antwort.
Michael