Hallo,
brauch dringend Hilfe bei einer Matheaufgabe.
Geben Sie f¨ur die folgenden Systeme von Vektoren an, ob sie linear unabh¨angig sind, ob sie
Erzeugendensysteme von R2 bzw. R3 sind und ob sie Basen von R2 bzw. R3 sind. Begr¨unden
Sie Ihre Antworten.
Geben Sie für die folgenden Systeme von Vektoren an, ob sie linear unabh¨angig sind, ob sie
Erzeugendensysteme von R² bzw. R³ sind und ob sie Basen von R² bzw. R³ sind. Begründen
Sie Ihre Antworten.
a.) 2 , 0 , 1 element R² (Vektoren)
0 , 2 , 1
b.) 1 , 1 element R²
1 , -2
c.) 1 , 0 element R³
-1 , -1
0 , 1
d.) 1 , 1 , 0 element r³, wobei t element R
1 , t , 1
0 , 1 , 1
es wird hier ganz gerne gesehen, wenn man eigene Lösungsvorschläge noch mit angibt.
Weißt du wie man überprüft, ob Vektoren linear unabhängig sind?
Was ist der Unterschied zwischen einem Erzeugendemsystem und einer Basis?
Entschuldigung,
die lineare Abhängigkeit, habe ich ermittelt. Und zu den Erzeugendensystemen habe ich deshalb keine Lösungsvorschläge abgegeben, weil mir total der Ansatz fehlt.
eine Reihe von Vektoren eines R^n Systems sind eine Basic wenn es n Vektoren sind, die linear unabhängig sind.
bei R² müssen es also genau 2 linear unabhängige 2-Dimensionale Vektoren sein.
bei R³ müssen es also genau 3 linear unabhängige 3-Dimensionale Vektoren sein.
a) sind 3 2D Vektoren -> kannst Du ohne Test beantworten
b) sind 2 2D Vektoren -> lineare Unabhängigkeit testen/beweisen.
c) sind 2 3D Vektoren -> kannst Du ohne Test beantworten
d) sind 3 3D Vektoren -> lineare Unabhängigkeit testen/beweisen.
ein Erzeugendensystem ist eine Menge von Vektoren, die den kompletten Raum aufspannen.
Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem - und wie Safrael schon geschrieben hat, kann im R^n die Basis nur n Vektoren besitzen.
Zu deinem Beispiel a):
{2 \choose 0}, {0 \choose 2}, {1 \choose 1}
Je zwei Vektoren sind linear unabhängig, spannen somit also den kompletten Raum auf. Somit ist diese Menge schon mal ein Erzeugendensystem - die Frage ist nur, ob es minimal ist.
Dadurch, dass schon jeweils 2 Vektoren den Raum aufspannen, würden eben diese reichen als Basis. Man hat also mehr Vektoren, als man brauchen würde, daraus folgt: Es ist nur ein Erzeugendensystem, aber keine Basis.
Kriegst du dann die anderen Beispiele hin?
Bei Aufgabenteil d) musst du noch eine kleine Fallunterscheidung machen - aber des wirst du ja bei deiner Untersuchung für die lineare Unabhängigkeit gemerkt haben
