beide Begriffe bezeichnen eine Art fester Einrichtung, sei es eine machtvolle Personengruppe oder eine Gebäude.
Hängen die beiden Wörter sprachgeschichtlich zusammen? Wenn ja, woher kommt das „s“ bei E-s-tablishement?
Oder ist es nur eine zufällige semantische Überschneidung bei grundverschiedenen Wörtern?
beide kommen auf Umwegen aus dem Latein - das eine übers Französische, das andere übers Englische; daher die unterschiedliche Schreibweise.
Wobei zu sagen ist, dass das englische Wort seinerseits ein Lehnwort aus dem Französischen ist (wie ein Grossteil des englischen Wortschatzes), und zwar von der altfranzösischen Form establissement (siehe auch hier), das seinerseits von establir abgeleitet ist.
Dessen Entwicklung vom Lateinischen zum Modernen Französisch geht im Prinzip so: