Hallo!
Also, ich habe ein Problem, und das ich die Lösung nicht weiß ist entweder ein Anzeichen dafür, dass ich die ganze Mathematik von Grund auf nicht verstehe (und vielleicht doch lieber meinen LK umwählen sollte) oder dass auf eins dieser Probleme gestoßen bin, wo die Mathematiker aufhören müssen zu denken, weil sie sonst total durchdrehen.
Deshalb wende ich mich an euch:
Also, wenn ich die Diagonale in einem Quadrat mit der seitenlänge 1 zeichne, so hat sie die länge wurzel 2. Wurzel zwei ist aber transzendent. Man kann keineStrecke zeichnen, deren Länge transzendent ist, weil ja immer mehr Nachkommastellen kommen (auf dem Zahlenstrahl müsste man also immer weiter nach rechts, immer weniger zwar aber immer noch ein Stückchen), So, an diesem Punkt versagen meine Gehirnzellen.
Bitte um Hilfe
Anna
Hi Anna,
Also, wenn ich die Diagonale in einem Quadrat mit der
seitenlänge 1 zeichne, so hat sie die länge wurzel 2. Wurzel
zwei ist aber transzendent. Man kann keineStrecke zeichnen,
deren Länge transzendent ist, weil ja immer mehr
Nachkommastellen kommen (auf dem Zahlenstrahl müsste man also
immer weiter nach rechts, immer weniger zwar aber immer noch
ein Stückchen),
Die Zahl „wurzel 2“ ist z.B. durch ihre Dezimaldarstellung eindeutig festgelegt, also existiert ein Punkt auf dem Zahlenstrahl, der dieser Zahl entspricht. Daß diese Festlegung auf einer unendlichen Folge von Näherungswerten beruht, ist dabei egal.
Genau das wird ja auch bei Deiner Konstruktion deutlich: es gibt ein Verfahren, um eine solche Strecke zu zeichen, das nicht auf einer Iteration beruht.
Ein anderes Beispiel: mit einem Zirkel mit Radius 1 kannst du eine Kurve der Länge 2 PI zeichen, einfach so 
Semjon.
Hallo Anna,
Also, wenn ich die Diagonale in einem Quadrat mit der
seitenlänge 1 zeichne, so hat sie die länge wurzel 2. Wurzel
zwei ist aber transzendent. Man kann keineStrecke zeichnen,
deren Länge transzendent ist, weil ja immer mehr
Nachkommastellen kommen (auf dem Zahlenstrahl müsste man also
immer weiter nach rechts, immer weniger zwar aber immer noch
ein Stückchen), So, an diesem Punkt versagen meine
Gehirnzellen.
sieh mal, was ich oben Martin geantwortet habe. Das Problem ist ähnlich zu lösen.
Gruß
Thomas Miller
Hi
Erstmal danke für Deine Antwort (sogar noch vor dem Schlafengehen…
)…aber mir fällt es noch schwer, dass Schildkrötenproblem, das mir durchaus bekannt ist, auf mein Problem zu übertragen…ich bin da ne ganz genaue
Deine Anna
Hallo nochmal,
Erstmal danke für Deine Antwort (sogar noch vor dem
Schlafengehen…
Schildkrötenproblem, das mir durchaus bekannt ist, auf mein
Problem zu übertragen…ich bin da ne ganz genaue
ich habe in deiner ViKa gelesen, dass du 16 oder 17 Jahre alt bist, also erst am Beginn der Oberstufe stehst.
Folge: Im Laufe der nächsten Zeit wird sich dein Problem lösen.
Stichwort: Infinitesimalrechnung (Wurzel 2 ist ein Grenzwert.)
Meint
Thomas Miller
Hi Anna!
Also, wenn ich die Diagonale in einem Quadrat mit der
seitenlänge 1 zeichne, so hat sie die länge wurzel 2.
Ja.
zwei ist aber transzendent.
Nein, „Wurzel Zwei“, was Du gemeint hast, ist nicht transzendent. Du verwechselst „transzendent“ mit „irrational“. Der Begriff „transzendent“ hat im Kontext Deiner Überlegung mit der unendlichen Summe nichts verloren.
Man kann keineStrecke zeichnen,
deren Länge transzendent ist, weil ja immer mehr
Nachkommastellen kommen (auf dem Zahlenstrahl müsste man also
immer weiter nach rechts, immer weniger zwar aber immer noch
ein Stückchen).
Daß man keine Strecke zeichnen kann, deren Länge transzendent ist, ist richtig, aber das hat nichts mit der Sache der unendlich vielen Nachkommastellen zu tun. Bitte halte das unbedingt auseinander!
Zuerst zur Nachkommastellen-Sache. Du kannst problemlos eine Strecke mit der Länge 1/3 konstruieren: Beliebige Strecke auf Papier malen, ihre Länge als Einheitslänge definieren („1“ dranschreiben) und mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile teilen. 1/3 lautet in Dezimaldarstellung aber „0.3333333333333…“. Es stimmt: 1/3 stellt in dieser Schreibweise eine unendliche Summe dar, in der ad infinitum endlich große Zahlen aufsummiert werden (0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + 0.00003 + …). Der Clou ist aber, daß die Summanden „so schnell“ kleiner werden, daß die Summe trotzdem endlich groß ist. Jetzt kann man natürlich versuchen, zu hinterfragen, wie das „unendlich oft was endlich großes summieren ergibt was endliches“ denn „funktionieren“ soll, aber diese Frage führt zu nichts. Es gibt einfach keine andere Erklärung, als die, daß wenn man die Dezimaldarstellung von 1/3 ausrechnet, nun mal die unendliche Summe „0.333333333333…“ erhält, und damit muß man sich zufriedengeben. Zu den fundamentalen Aussagen der Analysis gehört daher, daß (vereinfacht ausgedrückt) Reihen konvergieren, d. h. einen endlichen Wert haben, solange die Summanden „genügend schnell“ kleiner werden. Werden sie das nicht, wie etwa bei „1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + …“, dann kommt Unendlich heraus.
Man kann leicht zeigen, daß Du jede Strecke konstruieren kannst, deren Maßzahl eine rationale Zahl (0, 2, 1/3, 4/7, 347/231…) ist. Du kannst aber auch problemlos eine Strecke der Länge Wurzel(2) konstruieren: Zeichne ein Quadrat und greife mit dem Zirkel die Diagonale ab. Irrationalität ist also kein Ausschlußkriterium für die Konstruktion von Strecken.
Was Du dagegen nicht konstruieren kannst, sind Strecken, deren Länge eine transzendente Zahl ist. „Transzendent“ ist das Gegenteil von „algebraisch“. Algebraisch wird eine Zahl dann genannt, wenn sie eine Lösung der Gleichung
a + bx + c x^2 + d x^3 + … + x^n = 0
ist, wobei die Koeffizienten a, b, c, d… rationale Zahlen sein müssen. Das heißt salopp gesagt, daß alles, was irgendwie – egal wie kompliziert – „durch Wurzeln darstellbar“ ist, algebraisch ist (und im allgemeinen sind die Zahlen irrational).
Zu den transzendenten Zahlen gehören die Eulersche Zahl e (Nachweis durch Hermite 1873), die Kreismessungszahl pi (Nachweis durch Lindemann 1882), und die Funktionswerte der tranzendenten Funktionen (darunter Exponential- und Logarithmusfunktionen sowie die trigonometrischen Funktionen, also Sinus, Cosinus, Tangens). Die Menge der algebraischen Zahlen ist übrigens abzählbar (d. h. eindeutig auf die Menge der natürlichen Zahlen abbildbar), aber die Menge der transzendenten Zahlen ist überabzählbar.
Ich hoffe, ich konnte Dir helfen.
Mit freundlichem Gruß
Martin
Hi Martin!
„Transzendent“ ist das Gegenteil von „algebraisch“.
Algebraisch wird eine Zahl dann genannt, wenn sie eine Lösung
der Gleichunga + bx + c x^2 + d x^3 + … + x^n = 0
ist, wobei die Koeffizienten a, b, c, d… rationale Zahlen
sein müssen. Das heißt salopp gesagt, daß alles, was
irgendwie – egal wie kompliziert – „durch Wurzeln darstellbar“
ist, algebraisch ist (und im allgemeinen sind die Zahlen
irrational).Zu den transzendenten Zahlen gehören die Eulersche Zahl e
(Nachweis durch Hermite 1873), die Kreismessungszahl pi
(Nachweis durch Lindemann 1882), und die Funktionswerte der
tranzendenten Funktionen (darunter Exponential- und
Logarithmusfunktionen sowie die trigonometrischen Funktionen,
also Sinus, Cosinus, Tangens.
die Zahl e ist doch:
e:=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+…
also eine konvergente Reihe, ebenso die Funktionen e^x, sin(x), cos(x), ln(x)… u.s.w.
Also sind sie doch nach deiner Definition algebraisch, oder nicht?
Gruß
OLIVER
Hallo Oliver!
die Zahl e ist doch:
e:=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+…also eine konvergente Reihe, ebenso die Funktionen e^x,
sin(x), cos(x), ln(x)… u.s.w.
Ja.
Also sind sie doch nach deiner Definition algebraisch, oder
nicht?
Nein, denn ob eine Zahl durch eine Reihe darstellbar ist, oder ob sie die Gleichung
a + bx + c x^2 + d x^3 + … + x^n = 0
für geeignete (aber rationale!) Koeffizienten a, b, c… löst, sind zwei völlig verschiedene Schuhe. Egal, wie hoch Du die Ordnung n schraubst, und was auch immer Du Dir für die Koeffizienten ausdenkst, Du wirst nie auf eine Gleichung stoßen, die für x = e oder x = pi erfüllt ist (probier’s ruhig aus! ).
Bedenke auch, daß jede, aber auch wirklich jede Zahl durch eine konvergierende Reihe darstellbar ist. Beispiel:
a - 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
konvergiert für jedes a ganz offensichtlich gegen a.
Zu entscheiden, ob eine durch eine Reihendarstellung gegebene Zahl algebraisch oder tranzendent ist, ist im allgemeinen extrem schwierig. Wenn ich es richtig in Erinnerung habe, ist es bei e und pi tatsächlich so, daß man relativ leicht zeigen kann, daß entweder e^pi oder aber pi^e (!) transzendent sein muß, aber der Beweis, daß e selbst transzendent ist, ist „knüppelhart“! Die Sache mit der Transzendenz von Zahlen birgt also einiges an Kuriositäten in sich.
Gruß zurück
Martin
Zeichne mal ein gleichseitiges, rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypothenusenlänge von 1. Dann hast du dein „irrationales“ Problem urplötzlich mit den Katheten. Dein Problem liegt darin, daß dein Lineal in deiner Betrachtungsweise eben Teilstriche bei rationalen Zahlen hat und nicht bei Irrationalen. Gehst du davon aus, irrationale Zahlen auf dem Lineal markiert zu haben (wie im Beispiel oben), hast du die gedanklichen Probleme dann bei der Konstruktion von Strecken mit rationaler Länge.
Jochen