Was ist der Unterschied?
Alexander
Euklidische Geometrie = Geometrie in der Ebene, d.h. die Winkelsumme im Dreieck ist 180°.
Nicht-Euklidische Geometrie = Geometrie auf „gekrümmten Flächen“, d.h. die Winkelsumme im Dreieck ist nicht 180° (und hängt ab von der Krümmung der Fläche und der Größe der Dreiecks).
LG
Jochen
PS: Ein „Hallo“ wäre nett gewesen…
Hallo Jochen,
Euklidische Geometrie = Geometrie in der Ebene, d.h. die
Winkelsumme im Dreieck ist 180°.
Nicht-Euklidische Geometrie = Geometrie auf „gekrümmten
Flächen“, d.h. die Winkelsumme im Dreieck ist nicht 180° (und
hängt ab von der Krümmung der Fläche und der Größe der
Dreiecks).
Jetzt beginne ich das zu verstehen. So wie ich dich verstehe:
Euklidische Geometrie ist die Geometrie, wie ich die Welt zu erleben
glaube. Kannst du mir mal ein Bespiel für Nichtt-Euklidische-
Geometrie geben?
PS: Ein „Hallo“ wäre nett gewesen…
Bei Diskussionen begrüße ich selten die Anwesenden, da ich gerne
deren Sicht für Probleme hören will. Da ich nun aber weiß, wer mir
etwas erklärt hat, kann ich ihn gezielt ansprechen.
Mit Gruß, Alexander
Und das alles wird ein wenig kompliziert, da krumm nicht gleich krumm ist
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo.
Kannst du mir mal ein Bespiel für Nichtt-Euklidische-
Geometrie geben?
Behandelt die Sache zwar „nur“ allgemein, aber der zugehörige Artikelbaum sollte ein Beispiel enthalten: FAQ:1234
mfg M.L.
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Hallo Jochen,
Euklidische Geometrie = Geometrie in der Ebene, d.h. die
Winkelsumme im Dreieck ist 180°.
Nicht-Euklidische Geometrie = Geometrie auf „gekrümmten
Flächen“, d.h. die Winkelsumme im Dreieck ist nicht 180° (und
hängt ab von der Krümmung der Fläche und der Größe der
Dreiecks).Jetzt beginne ich das zu verstehen. So wie ich dich verstehe:
Euklidische Geometrie ist die Geometrie, wie ich die Welt zu
erleben glaube.
Falsch, unsere Erdoberfläche ist nicht-euklid und real.
Kannst du mir mal ein Bespiel für Nichtt-Euklidische-
Geometrie geben?
Euklidsche Geometrie:
Die Ebene, Der 3-D Raum, der Torus und die Zylinderoberflächen (beide
lassen sich auf die Ebene abwickeln).
Nichteuklid:
Die Kugeloberfläche (sie ist nicht kämmbar, an den Polen laufen unendlich viele Geodäten (Längenkreise) in einem Punkt zusammen; sie lässt sich nicht auf eine Ebene abwickeln; Ein Kugeloberflächendreieck aus 0Grad Längengrad, 90Grad Längengrad und Äquator hat eine Winkelsummen von 270Grad).
Die durch die Massen gekrümmte Raum-Zeit (also vierdimensional; Stchw.: Allgemeine Relativitätstheorie)
Gruß
Huhu,
Kannst du mir mal ein Bespiel für Nichtt-Euklidische-
Geometrie geben?
Naja, wenn man über große Distanzen auf der Erde trianguliert zB. Oder wenn man im Weltraum die Raumkrümmung berücksichtigen muß.
LG
Jochen
Euklidsche Geometrie:
Der 3-D Raum
Der Weltraum hingegen ist gekrümmt.
Berühmtes Experiment zum Nachweis der Einsteinschen Allgemeinen Relativitätstheorie: Beobachtung eines Sterns ‚hinter‘ der Sonne bei einer Sonnenfinsternis. Da der Stern ‚hinter‘ der Sonne war und trotzdem sichtbar war ist der Raum (durch die Sonne) gekrümmt.
‚krumme‘ Räume
Was ist der Unterschied?
In FAQ:1234 gibt es Erklärungen dazu.
Beachte aber bzgl. des Begriffs „Krümmung“:
http://www.wer-weiss-was.de/cgi-bin/forum/showarchiv…
Für euklidische Geometrie gibt es nur 1 Klasse von Modellen, nämlich der „flache“ euklidische Raum oder die Ebene der Wandtafel oder die Kante des Lineals.
Nichteukidische Geometrien gibt es aber in 2 Klassen:
die Elliptische (Modell z.B. Kugeloberfläche, wie schon erwähnt) und
die Hyperbolische.
Wenn du eine alte Vinyl-Schallplatte hast und entbehren kannst, dann leg sie eine halbe Stunde in die Mittagssonne, dann hast du ein schönes Modell für eine hyperbolische Fläche.
Gruß
Metapher
Re: Materialschonender 
Hi Methapher,
Wenn du eine alte Vinyl-Schallplatte hast und entbehren
kannst, dann leg sie eine halbe Stunde in die Mittagssonne,
dann hast du ein schönes Modell für eine hyperbolische Fläche.
materialschonender ist es, sich Bilder anzugucken
http://images.google.de/images?hl=de&q=hyperbolische…
Gandalf
Mathematik zum Anfassen
materialschonender ist es, sich Bilder anzugucken
Das weiß ich, Gandalf. Wenn man hundertfach mit 4 Strichen eine solche Fläche an die Tafel gezaubert hat … 
Aber ich wollte ein Beispiel zeigen, daß man Mathematik manchmal anfassen kann: Auf einem Bild siehst du nämlich nicht, wie und WARUM sie aus einer euklidischen Fläche entsteht (weil durch die Wärmeausdehnung eine Situation entsteht, bei der die Peripherie eines Kreises schneller als mit dem Radius wächst)
Und warum das bei einer Halbkugel-Schale, die man aus einer Kupferplatte hämmert, umgekehrt ist …
Gruß
Metapher
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Hallo Alexander.
Vielleicht findest du den historischen Zusammenhang interessant. Man hat etwa zwei Jahrtausende versucht, dass Pralellenaxiom aus den übrigen Axiomen der Euklidischen Geometrie heraus zu beweisen. Man wollte zeigen, das das Parallelenaxiom (~Zu einer Geraden und einem Punkt der sich nicht auf jener befindet, gibt es genau eine Gerade durch diesen Punkt, welche mit der rsteren Gerade keine Punkte gemeinsam hat) nicht unabhängig ist. Man ist geschweitert.
Erst im 19. Jhdt hat Lobatschewski bewiesen, dass das Parallenaxiom unabhängig ist: Er hat eine Geometrie vorgestellt, die alle Axiome der euklidischen Geometrie enthält, allerdings eines zum Paralellenaxiom widersprüchliches Axiom: Zu einer Geraden und einem Punkt, der sich nicht auf jener befindet, gibt es mindestens 2 (ungleiche) Geraden durch diesen Punkt, welche mit der Ersteren keine Punkte gemeinsam haben…
Diese Klasse der Geometrien nennt man hyperbolische Geometrien. Felix Klein und (ich glaube) Poincare haben auch solche Geometrien vorgestellt. Diese Geometrien haben lustige Eigenschaften. Zwei ähnliche Dreiecke sind auch konkruent. Die Winkelsumme in Dreiecken ist
Hi,
Vielleicht findest du den historischen Zusammenhang interessant.
Ich wies ja auf FAQ:1234 hin. Dort steht das bereits drin. Unter Punkt 3.
In der Antike wurde übrigens nicht das Parallelenaxiom diskutiert, sondern der Winkelsummensatz: „Die Summe der Winel eines Dreiecks ist gleich der Summe zweier rechter Winkel“. Dieser Satz ist aber, wie du sicher weißt, gleichbedeutend mit dem Prallelensatz.
Gruß
Metapher
Hallo,
für die vielen wunderbaren Antworten danke ich herzlich. Ich versuche
jetzt, dass ich Eure Antworten begreife.
Ich grüße in die Runde. Alexander