Analütter Beweis
Hallo Oliver,
danke für deinen Tip, isscha logisch und elementar.
Ich liebe aber Konvergenzen (wie du wohl schon weißt; und diff/inte-mäßig ganz doll die fast unerschöpfliche partielle Integration - Gegenaufleitung), ganz elementare Überlegungen (e = limes), und v.a. den Hôpital, als sone Art
„Universalinstrument“; daher, auch wenns schwer zu schlucken/dehieroglyphen iss, hier meinen Beweis:
Ananlytischer BEWEIS der
„Eulersche Formel“: e^[i\*x] = cos[x] +i*sin[x]
A) gemäß Moivre (leicht elemantar zu beweisen)gilt:
(cos[x/n] + i*sin[x/n])^n =
cos[x] + i*sin[x], also auch:
lim{(cos[x/n] + i*sin[x/n])^n}, für n beliebig,
= cos[x] + i*sin[x], also auch:
lim{(cos[x/n] +i *sin[x/n])^n}, für n gegunendlich,
= cos[x] + i*sin[x].
B) Trigonometrische Umformung und Konvergenzen:
lim{(cos[x/n] +i *sin[x/n])^n} = (weil sin = tanÜ*cos)
lim{cos[x/n]^n*(1 + i*tan[x/n])^n}, für n unendlich, das wegen der Konvergenz beider (Teil/Faktor-)Folgen =
lim{cos[x/n]^n}*lim{(1 + i*tan[x/n])^n} = e^[i\*x], denn:
- Der 1te „Folgefaktor“
lim{cos[x/n]^n} = 1, weil:
lim{cos[x/n]^n} = lim{(1-sin[d]^2)^[x/2d]} =
lim{(1-sin[d]^2)^([1/sin[d]^2][x/2d]*sin[d]^2)}, für d gegen 0, =
lim{(1-sin[d]^2)^([1/sin[d]^2][x*sin[d]^2/2d)} =
e^[-x*sin[d]^2/2d], d gegen 0, = e^0 = 1, denn wegen Hôpital ist:
lim{sin[d]^2/2d}, für d gegen 0, =
lim{-2cos[d]*sin[d]/2)}, für d gegen 0, = 0
2( und der zweite „Folgefaktor“ glz:
lim{(1 + i*tan[x/n])^n = e^[i\*x], weil:
lim{(1 + i/cot[x/n])^(cot[x/n]*n*tan[x/n]) =
lim{(1 + i/cot[x/n])^cot[x/n])}^(n*tan[x/n]) =
lim{(1 + i/cot[x/n])^cot[x/n])}^lim{n*tan[x/n]}=e^[i\*x],
denn alle auftretenden Folgen sind konvergent und es gilt:
Die „Basisfolge“ lim{(1 + i/cot[x/n])^cot[x/n] = e^i,
und die „Exponentenfolge“
lim{n*tan[x/n]}, n gegen unendlich, =
lim{tan[d]/[d/x]]}, d gegen 0, =lim{[1/cos[d]^2]/1/x}=
lim{[x/cos[d]^2]}, d gegen 0, = x !!!
Also:
lim{cos[x/n]^n}*lim{(1 + i*tan[x/n])^n}, n gegen unendl.
Also: cos[x] +i*sin[x] = 1*[e^i]^x = e^[ix] wzzw!
Anders herum gilt natürlich auch, eigentlich logisch, aber der Konvergenzproblematik doch nicht selbstverständlich und hier der Deutlichkeit halber erwähnt, nur sehr viel umständlicher zu beweisen, da0:
e^[i\*x] = lim{(1 + x/n)^[i\*n]}, n gegen unendlich, = cos[x] + i*sin[x] !!!
(Beweis über die bekannte Zerlegung von
(1 + i*x/n)^n in {Betrag*(cosz+isinz)}^n = Betrag^n*(cosz+isinz)^n = Betrag^n*(cos[nz]+isin[nz]).
PS: Was hälst du übergens von „meiner“ „Abbildung“ der „linearität“ von |R auf die „Funkentionalität“ des scheinbaren Auf- und AbBlinkens eines sich drehenden Leuchtturmkopfes, v.a. bei Nebel?
Hast du eine Idee zur „Rückabbildung“? (also Menge{0,1} auf Intervall[0;1]). Denn jeder Schwachlopf weiß ja, daß der nicht wirklich blinkt! Als Kieler Sprotte haick das noch leibhaftig in Erinnerung. Auch meinen anfänglichen Irrtum.
Ciao e batsch, Mathemanni