Eulersche Zahl/Wachstumsfunktion

[tahnee]

Hallo!
Ich schreibe eine Jahresarbeit über die Eulersche Zahl und deren Anwendungen.Leider habe ich ein kleines Problem mit der Herleitung der Wachstumsfunktion.Ich habe 2 verschiedene Sachen aus dem Internet:

1.Die Gleichung f´(t)=k*f(t)…Um sie zu lösen muss eine Funktion gefunden werden, deren Ableitung proportional zu der Funktion selbst ist.Die e-Funktion besitzt diese Eigenschaft.
f(t)=C*e^k*t
Hier verstehe ich nicht wie die auf das e^k*t kommen.C ist in diesem Fall eine Konstante und dass ich die e-Funktion verwende ist auch klar, aber woher kommt das k*t dann???

2.f´(t)=f(t)*k
Dies ist die Differentialgleichung für den „Momentan-Zuwachs“.
Im folgenden formen wir diese so um, dass eine Funktionsgleichung für B(t) entsteht.
s(f´(t)/f(t))*dt=sk*dt (s=Integrationszeichen)
ln f(t)=k*t+c (f(t) in Betrag)
ln [f(t)]=k*t+c
f(t)=e^k*t+c=e^c*e^k*t=a*e^k*t f(0)=a
So hier verstehe ich eigentlich gar nichts…weder warum die integrieren noch das, was bei dem integrieren herauskommt oder warum der natürliche Logarithmus gebildet wird.

Wenn mir jemand bei einer dieser 2 Möglichkeiten helfen könnte wäre echt super.Vielen Dank schonma tahnee

[Jo1_a88223]

Hallo!

Hast du schonmal bei Wikipedia nachgelesen (http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl)?

Deine beiden „verschiedenen“ Sachen sind doch ein und das gleiche:

Gegeben ist eine Funktion, deren ÄNDERUNG in jedem beliebigen Punkt PROPORTIONAL ihres FUNKTIONSWERTES ist:

f’(t) = k * f(t)

(k ist der Proportionalitätsfaktor)

Das ist eine Differentialgleichung. Einfach anders geschrieben:

d[f(t)]/dt = k * f(t)

Das ist das selbe wie oben. Statt f’(t) schreibt man einfach nur hin, dass f(t) nach t abgeleitet sein soll. Das ‚d‘ liest sich ‚delta‘ und meint ‚ein unendlich kleines Stück von‘. d[f(t)]/dt heißt also, dass sich f(t) ein unendlich kleines Stück ändert, wenn t sich ein unendlich kleines Stück ändert: also die Änderung von f(t) mit t, also die Ableitung von f(t) nach t.

Normalerweise sind Gleichungen, wo der Funktionswert und gleichzeitig die Ableitung der Funktion vorkommen, etwas doof, weil man so nicht direkt für ein gegebenes t ausrechnen kann, was denn der Funktionswert ist. Beispiel: Als alter Bäckermeister kennst die Wachstumsrate k des Teigvolumens beim Brotbacken (beim „Gehen-lassen“): k = 0,8 pro Stunde. Du hast am Anfang V₀=400ml Teig, den du in eine 5-Liter-Schüssel gibst. Du willst den Teig t = 3 Stunden gehen lassen. Wird der Teig dann schon über die Ränder quellen oder geht das noch? Die Differentialgleichung ist ja

d(V(t))/dt = k * V(t)

Du willst nun ja das Volumen V(t) nach t=3 Stunden wissen. k sei Dir alten Bäckermeister ja bekannt. Stellst du diese Gleichung nach V(t) um (durch k teilen), bekommst du

V(t) = 1/k * d(V(t))/dt

Super… das hilft Dir auch nicht wirklich: Du kennst ja diese doofe Ableitung nicht. Also probieren wir jetzt eine TRICK:

Statt durch k zu teilen, teilen wir durch V(t):

1/V(t) * d(V(t))/dt = k

Und jetzt multiplizieren wir mit dt:

1/V(t) * d(V(t)) = k * dt

Das ist cool, weil jetzt auf BEIDEN Seiten Ausdrücke stehen, die sich einfach INTEGRIEREN lassen:

Integral[1/V(t)]*d(V(t)) = Integral[k]*dt

Das ist jetzt ganz einfach, wenn man die Integrationsregeln kennt. Links steht sowas: Integral[1/x]*dx, und das ist ln(x). Rechts soll ein k nach t integriert werden. Das ist einfach k*t. Also:

ln(V(t)) = k*t

Das sind die gesuchten STAMMFUNKTIONEN. Die Integrale selbst werden natürlich in gegebenen Grenzen berechnet. Was aber sind diese Grenzen? Auch das ist sehr einfach: Bei der Zeit („t“) fangen wir bei Null an und gehen bis zum Zeitpunkt t. Auf der Rechten Seite steht also korrekterweise

k*t - k*0

was wieder k*t ist. Für diese beiden Zeitpunkte (0 und t) brauchen wir noch die entsprechenden Teig-Volumina für die linke Seite der Gleichung. Zum Zeitpunkt Null haben wir das Startvolumen V₀. Und zum Zeitpunkt t natürlich V_t oder V(t). Damit ergibt sich für die linke Seite

ln(V(t)) - ln(V₀)

Nochmal zusammen:

ln(V(t)) - ln(V₀) = k*t

Fein, in dieser Gleichung taucht nun keine Ableitung von V(t) mehr auf. Außer V(t) selbst - was wir ja berechnen möchten - kommen nur bekannte Größen vor: V₀ = 400ml, k = 0,8 pro Stunde und t = 3 Stunden. Darum erstmal alles, was nicht V(t) ist auf die rechte Seite bringen:

ln(V(t)) = k*t + ln(V₀)

Einzig dieser ln stört noch. Also weg damit, indem man die ganze Gleichung mit der UMKEHRFUNKTION des ln behandelt, und das ist die EXPONENTIALFUNTION: y=ln(x) x=e^y

e^ln(V(t)) = e^{k*t + ln(Vo)}

Die Summe im Exponenten rechts läßt sich auch als Produkt schreiben:

e^ln(V(t)) = e^k*t * e^ln(Vo)

Und es ist auch klar, dass e^ln(Vo) = V₀ ist:

e^ln(V(t)) = e^k*t * V₀

Genauso ist natürlich e^ln(V(t))=V(t):

V(t) = e^k*t * V₀

So, das war’s. Jetzt kannst du alles einsetzen und das Volumen V(t) ausrechnen. Machen wir das:

V(t) = e^0,8*3 * 0,4 Liter = 4,41 Liter

Ok, knapp, aber reicht. In 3 Stunden passt der Teig noch in die 5-Liter-Schüssel.

Die ganze Sache kann man so auflösen, weil man weiß, dass das Integral von 1/x eben ln(x) ist. Und die Umkehrfunktion von ln(x) ist e^x.

Eine ANDERE Sache ist, warum dieser Zusammenhang von Integral(1/x) und ln(x) überhaupt so ist, und warum das gerade der Logarithmus zur Basis e ist, bzw. warum die Basis eben genau diesen Wert e = 2,718… hat. Dafür gibt es viele Herleitungen. Am einleuchtensten - um am besten mit der Wachstumsfunktion zusammenhängend - finde ich die Definition von e über die Grenzwertbildung der Zinseszins-Folge, wie sie auch im Wikipedia-Artikel genannt ist.

Ich hoffe, das hilft etwas beim Verständnis.

LG
Jochen

[michael_f7f5bc]

hi,

1.Die Gleichung f´(t)=k*f(t)…Um sie zu lösen muss eine
Funktion gefunden werden, deren Ableitung proportional zu der
Funktion selbst ist.Die e-Funktion besitzt diese Eigenschaft.
f(t)=C*e^k*t
Hier verstehe ich nicht wie die auf das e^k*t kommen.C ist in
diesem Fall eine Konstante und dass ich die e-Funktion
verwende ist auch klar, aber woher kommt das k*t dann???

man löst die differenzialgleichung f’ = k . f durhc „variablentrennung“:

df
-- = k . f
dt

df
-- = k . dt
f

ln f = kt + Const. 

(denn ln x ist integral von 1/x und kt + Const. ist integral von k)

exp ist umkehrfunktion von ln, also:

f = e^(kt + Const.) = e^(kt) . e^Const = C . e^(kt)

2.f´(t)=f(t)*k
Dies ist die Differentialgleichung für den „Momentan-Zuwachs“.
Im folgenden formen wir diese so um, dass eine
Funktionsgleichung für B(t) entsteht.
s(f´(t)/f(t))*dt=sk*dt (s=Integrationszeichen)
ln f(t)=k*t+c (f(t) in Betrag)
ln [f(t)]=k*t+c
f(t)=e^k*t+c=e^c*e^k*t=a*e^k*t f(0)=a
So hier verstehe ich eigentlich gar nichts…weder warum die
integrieren noch das, was bei dem integrieren herauskommt oder
warum der natürliche Logarithmus gebildet wird.

weil integrieren „das gegenteil“ vom differenzieren ist. der natürliche logarithmus wird nicht „gebildet“, sondern er taucht als integral des kehrwerts von selber auf und wird dann durch die exponenzialfunktion wieder „aufgehoben“.
du setzt außerdem zu wenige klammern. deine letzte formelzeile sollte lauten:
f(t)=e^(k*t+c) = e^c * e^(k*t) = a*e^(k*t) f(0)=a

für t = 0 ist e^(k*t) = e^0 = 1, also f(0) = e^c = a, wenn man für das e^c einen neuen parameter a schreiben will.

eigentlich geschieht genau das, was ich dir oben zu 1. schon hingeschrieben hab.

hth
m.

[tahnee]

Vielen vielen Dank schonmal du hast mir wirklich sehr geholfen!!
Ich denke es lag hauptsächlich daran, dass ich zu wenig übers Integrieren wusste.Dazu habe ich allerdings noch eine kleine Frage:
Du schreibst:
1/V(t) * d(V(t)) = k * dt

Das ist cool, weil jetzt auf BEIDEN Seiten Ausdrücke stehen,
die sich einfach INTEGRIEREN lassen:

Integral[1/V(t)]*d(V(t)) = Integral[k]*dt

Ich weiß jetzt auch nicht ganz genau, wie ich ausdrücken soll, was ich meine.Ich versuche es mal so:
Nehmen iwr an wir integrieren f(x)=x-2 dann erhalte ich integral(x-2)*dx
allerdings hattest du das dt schon vorher.Kann man dann einfach so das Integralszeichen davorsetzen??

[Ingo_von_Borstel]

Moin,

allerdings hattest du das dt schon vorher.Kann man dann
einfach so das Integralszeichen davorsetzen??

Mathematiker werden sagen „nein“, weil’s sicher pathologische Fälle nicht integrabler Differentiale gibt. Aber in den meisten Fällen, so auch hier, ist das problemlos möglich, also ist die praktische Antwort „ja“, sofern man das Integralzeichen auf beiden Seiten der Gleichung quasi als eine Äquivalenzumformung einführt und die Integrationskonstanten passend wählt.

Gruß,
Ingo

[Martin]

Eulersche Zahl/Wachstumsfunktion [lang]
Hallo,

1.Die Gleichung f´(t)=k*f(t)…Um sie zu lösen muss eine
Funktion gefunden werden, deren Ableitung proportional zu der
Funktion selbst ist.Die e-Funktion besitzt diese Eigenschaft.
f(t)=C*e^k*t
Hier verstehe ich nicht wie die auf das e^k*t kommen.C ist in
diesem Fall eine Konstante und dass ich die e-Funktion
verwende ist auch klar, aber woher kommt das k*t dann???

in den Beweis, dass f(t) = f₀ e^k t die Wachstums-DG (Differentialgleichung) f’ = k f löst, geht folgendes ein:

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
a) Die Funktion exp ist^(Definition) die Lösung der DG f’ = f mit der Anfangsbedingung f(0) = 1.

b) Die Funktion ln ist^(Definition) die Umkehrfunktion der exp-Funktion.

c) Ableitungsregeln:

i) f’(x) = 0 ⇔ f(x) = C

ii) Lineare Funktion: [k x]’ = k

iii) Summe zweier Funktionen: [f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x)

iv) Umkehrfunktion: [f_invers(x)]’ = 1 / f’(f_invers(x))

v) Funktion von Funktion: [f(g(x))]’ = f’(g(x)) · g’(x) („Kettenregel“)
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Aus a), b) und civ) folgt [ln(x)]’ = 1/x

Beweis: [ln(x)]’ = 1 / exp’(ln(x)) = 1 / exp(ln(x)) = 1/x

Das plus cv) führt auf [ln(f(x))]’ = f’(x) / f(x) (*)

Aus a) folgt exp(x) = e^x (**)

Den Beweis von (**) findest Du gesondert weiter unten.

Jetzt können wir rechnen:

f’(t) = k f(t)

Wir teilen beide Seiten durch f(t). Dazu müssen wir den Fall, dass f(t) die Nullfunktion ist, ausschließen. Mit f(t) = 0 haben wir jedoch bereits eine triviale Lösung der DG f = k f’ gefunden.

⇔ f’(t) / f(t) = k

⇔ f’(t) / f(t) – k = 0

^{(*) und (cii) und (ciii)}
  ⇔ [ln(f(t)) – k t]’ = 0

^(ci)
  ⇔ ln(f(t)) – k t = C

⇔ ln(f(t)) = C + k t

^(b)
  ⇔ f(t) = exp(C + k t)

An dieser Stelle halten wir kurz inne und merken an, dass wir bis jetzt ohne die Verwendung der Beziehung (**) ausgekommen sind. Diese kommt erst jetzt zum Einsatz:

^(*)
  ⇔ f(t) = e^{C + k t}

⇔ f(t) = e^C · e^k t

e^C muss irgendwie mit der Anfangsbedingung von f, d. h. dem Funktionswert f(0) = f₀ zusammenhängen. Wir untersuchen dies genauer:

f₀ = f(0) = e^C · e^{k · 0} = e^C · e⁰ = e^C · exp(0) = e^C · 1 = e^C

e^C ist also mit f₀ identisch. Wie man sieht, geht in den Beweis exp(0) = 1 ein, was ja Teil der exp-Definition ist.

⇔ f(t) = f₀ e^k t

Fertig! Die Wachstums-DG f’ = k f wird gelöst von der Nullfunktion f(t) = 0 (triviale Lösung) und von f(t) = f₀ e^k t

Was bleibt, ist der Beweis von (**).

Dazu erinnern wir uns nochmal an a): Laut Definition ist exp diejenige Funktion, die exp’ = exp und exp(0) = 1 erfüllt.

Jetzt wird es clever. Wir wählen irgendeine feste Zahl a und definieren eine neue Funktion g nach folgender Vorschrift:

g(x) = exp(x + a)/exp(a)  mit a = feste Zahl = Parameter von g

Um g näher kennenzulernen, stellen wir uns zwei Fragen: g(0) = ? und g’(x) = ?

Antwort: g(0) = exp(0 + a)/exp(a) = 1 und g’(x) = exp’(x + a)/exp(a) = exp(x + a)/exp(a) = g(x)

Wir haben also herausgefunden, dass g’(x) = g(x) und g(0) = 1. Das ist ein Knüller, denn es bedeutet ja, dass g ebenfalls die exp-Definition erfüllt (!), eine Tatsache, deren sensationelle Konsequenz lautet: g = exp!

Also dürfen wir schreiben exp(x) = exp(x + a)/ exp(a) woraus folgt

exp(x + y) = exp(x) + exp(y)

Wow! Da diese Beziehung für Potenzen gilt, können wir bereits an dieser Stelle ahnen, dass exp eine entsprechende Form haben wird. Das wollen wir sogleich genauer prüfen und berechnen exp(m) mit m = eine natürliche Zahl:

exp(m) = exp(1 + 1 + … + 1) = exp(1) · exp(1) · … · exp(1) = (exp(1))^m = e^m

Dabei haben wir im letzten Schritt die Zahl e als e = exp(1) definiert. Die Eulersche Zahl e ist also der (uns an dieser Stelle zahlenmäßig noch unbekannte) Funktionswert der exp-Funktion an der Stelle 0.

Analog kann man exp(m/n) = e^m/n zeigen und das läßt sich sinnvoll verallgemeinern zu

exp(x) = e^x

Damit ist der Beweis von (**) erbracht.

Zu guter Letzt wäre noch der Zahlenwert von e von Interesse.

Die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x = 0 ist^(Definition) gegeben durch

f’(0) = lim _{Δx → 0} (f(Δx – f(0))) / Δx

Wir schreiben das vereinfacht als f’(0) = (f(Δx – f(0))) / Δx, formen es zu f(Δx) = f(0) + Δx f’(0) um, und berechnen damit e^Δx:

e^Δx = e⁰ + Δx e⁰ = 1 + Δx.

Das bedeutet, dass die Funktion f(x) = e^x mit der Steigung 1 durch den Punkt (0, 1) läuft, was aber auch unmittelbar aus der exp-Definition hervorgeht.

Gegeben sei nun irgendein x-Wert. Zerlegen wir ihn in eine sehr große Zahl N sehr kleiner Abschnitte Δx = x/N, so folgt

e^x = e^{N Δx} = (e^Δx)^N = (1 + Δx)^N = (1 + x/N)^N

Ergebnis: Offensichtlich besitzt ex die Darstellung

e^x = lim _{N → ∞} (1 + x/N)^N

Mithin gilt

e = lim _{N → ∞} (1 + 1/N)^N

Den Ausdruck auf der rechten Seite kann man nun für N = 1, 2, 3… ausrechnen. Es zeigt sich, dass die Reihe konvergiert, und zwar gegen den Grenzwert e ≈ 2.71828… (e ist irrational).

Es gibt noch eine andere interessante Methode, die ebenfalls zum Zahlenwert von e führt. Dazu betrachtet man die DG f’ = f und versucht, sie mit Polynomen zu lösen.

Setzt man probeweise 1 + c₁ x + c₂ x² in die DG ein, bekommt man

c₁ + 2 c₂ x = 1 + c₁ x + c₂ x²

Das geht blöderweise niemals, weil rechts ein x²-Glied steht, links aber nicht. Damit auch links ein x² erscheint, müssten wir f bis x³ aufstocken. Dann aber würde uns dieses x³ wiederum links fehlen usw. Wir lassen uns davon nicht unterkriegen und setzen einfach die unendliche Summe

f(x) = Σ_{n = 0…∞} c_n xⁿ

in die DG f’ = f ein. Dann ergibt sich c₀ = 0 und die Rekursionsformel c_n = c_{n – 1}/n mit n = 1, 2, 3… Aus dieser kann man die gesuchten Koeffizienten c_n gewinnen:

c₁ = 1
  c₂ = 1/(1 · 2)
  c₃ = 1/(1 · 2 · 3)
  c₄ = 1/(1 · 2 · 3 · 4)
  …
  c_n = 1/(1 · 2 · … · n) = 1/n!

Damit haben wir es geschafft:

e^x = Σ_{n = 0…∞} 1/n! xⁿ

Dies ist die Potenzreihe der e-Funktion, die für alle x konvergiert.

Der Zahlenwert von e folgt zu

e = Σ_{n = 0…∞} 1/n!

und auch dabei kommt (natürlich) 2.71821… als Grenzwert heraus.

Uff, das wars.

Mit freundlichem Gruß
Martin