Hallo,
kurz - eine geschlossene Formel scheint es (bisher) nicht zu geben. Wenn man mit Cents
rechnet (um gebrochene Zahlen zu vermeiden), stellt sich das Problem die Anzahl der Lsg. zu
bestimmen mit der sich n Cents als Summe von 1,2,5,10,20,50,100 Cents auszudrücken lassen,
als die Anzahl der Lsg. von
n=a+2b+5c+10d+20e+50f+100g
dar mit ganzzahligen, positiven Unbekannten a,b,c,d,e,f,g (inkl. 0). Das Problem ist so
ziemlich „unhandlich“. Gehen wir daher von den Unbekannten aus. Jedes n läßt sich eindeutig
als Summe von ausschließlich 1 Cent Stücken darstellen. Jedes gerade n wiederrum eindeutig
als Summe bestehend nur aus 2 Cent Stücken. Jedes Vielfache von 5, als Summe bestehend nur
aus 5 Cent Stücken usw. Das sieht zunächst relativ nutzlos aus, ist aber der Schlüssel für
einen Ansatz über formale Potenzreihen. Umgesetzt liefert dies gerade
ck(x)=sumn>=0 xkn=1/(1-xk) für
k=1,2,5,10,20,50,100
und das Produkt dieser einzelnen „erzeugenden Funktionen“ hat gerade die gewünschte
Eigenschaft, daß der Koeffizient von xn die gesuchte Lsg. Anzahl ist. Als Produkt
ergibt sich:
c(x)=prodk=1,2,5,10,20,50,100
1/(1-xk)=sumn>=0an*xn
Für eine geschlossene Formel wäre jetzt eine Partialbruchzerlegung nötig, die sich schwierig
gestalten dürfte. Man kann die einzelnen Koeffiezienten an allerdings durch
Entwicklung der Potenzreihe bestimmen und dabei ggf. ausnutzen, daß sie sich durch
schrittweises Ableiten von c ermitteln lassen, durch
an=c(n)(0)/n!
mit c(n) der n-ten Ableitung von c.
Gruss
Enno
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