Hallo
Kann mir jemand sagen wie man den exakten Wert von sin(22.5) berechnet?
Es ist irgend etwas mit einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck. Ich komme damit einfach nicht auf die Lösung.
Gruss Tino
Hallo Timo
Die Aufgabe ist etwas verzwickt und ohne Zeichnung schlecht zu erklären.
(Mir ist eine Lösung eingefallen, behaupte aber nicht, daß es die einzig mögliche ist.)
Es fällt auf, daß 22,5 Grad die Hälfte von 45 Grad sind. Demnach hat die Lösung etwas mit einem gleichseitigen Dreieck zu tun, in dem ein 45 Grad Winkel auftaucht, denn nur dann fallen Winkelhalbierende, Seitenhalbierende und Höhe zusammen.
Also zeichnen wir ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit einem 45 Gradwinkel bei gamma (a=b). Zeichnet man die Höhe h_c in diesem Dreieck ein, so teilt diese die Grundseite c genau in der Mitte.
Außerdem entsteht hierdurch ein rechtwinkliges Dreieck.
Nun spiegelt man das Dreick ABC an BC und erhält dadurch ein Viereck ABA’C. Verbindet man die Punkte A und A’, so stellt AA’C ein halbes Quadrat dar und AA’ ist genau die Diagonale in diesem Quadrat, das die Seitelänge a besitzt. Demnach ist AA’=wurzel(2)*a lang. Der Schnittpunkt mit der ursprünglichen Strecke BC sei D. Dies ist genau der Mittelpunkt von AA’ (gleichschenkliges Dreieck AA’C).
Demnach betragen die Längen AD=wurzel(2)/2*a und DB=BC-CD=(1-wurzel(2)/2)*a, denn BD stellt auch eine halbe Diagonale in dem oben erwähnten Quadrat dar.
Da wieder AA’ senkrecht auf BC steht (gleichschenkliges Dreieck), kann die Grundseite c nun nach Pythagoras berechnet werden.
Daraus folgt dann sin(22,5 Grad) als (c/2)/a.
Hoffe Dir damit gedient zu haben
Helga
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Formelsammlung
Hi
ohne Herleitung geht es mit einem Blick in die Formelsammlung (Stichwort: Additionstheoreme)
45° sind Pi/4
22.5° also Pi/8 also 1/2 * Pi/4
Außerdem ist Cos[Pi/4]=1/Sqrt[2]
In der Formelsammlung findet man :
Sin[1/2 * x] = ±Sqrt[(1-Cos[x])/2]
einsetzen liefert (das richtige Vz ist +):
Sin[22.5°] = Sin[1/2 *Pi/4] = Sqrt[1/2 * (1-1/Sqrt(2))] = 0.382683…
fertig
Grüße Rossi
Hallo Helga
In meinem Mathe Buch ist leider auch keine Zeichnung, aber es muss irgendwie mit dem Sinussatzt und einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck gelöst werden.
Vielen Dank für Deine Lösung, ich werde sie gleich genauer studieren.
thx
Gruss Tino