Hallo!
Kann man sich während des Studiums selbständig machen?
Ja, kann man. Ich habe das selbst so gemacht. Der Vorteil dabei war, daß ich in vielen Punkten (von der Krankenversicherung bis zum Zeitungsabo) vom Studentenstatus profitiert habe - ich konnte es mir sozusagen „leisten“, am Anfang auch geringe Umsätze zu haben. Aus diesem Grund solltet ihr vorher abklären, ob es bei Versicherungen etc. irgendwelche Randbedingungen gibt, bei denen euch der Studentenstatus verloren geht, und das dann vermeiden.
Wie gehen wir am besten vor?
Können wir zu zweit ein Gewerbe anmelden so, dass jede die
selben Rechte hat?
Ist ein Lernstudio überhaupt ein gewerbliche Tätigkeit? Erziehung und auch Lehre sind freie Berufe (http://de.wikipedia.org/wiki/Freiberuf), das dürfte mE dann für Nachilfe auch gelten - macht euch da aber besser noch mal schlau.
Damit ihr die selben Rechte habt, solltet ihr bei aller Freundschaft untereinander einen schriftlichen Vertrag aufsetzen. Am unkompliziertesten ist da die Gründung einer GbR - dazu gibt es massig Lektüre und auch Informationen im Netz: http://de.wikipedia.org/wiki/Gesellschaft_b%C3%BCrge…
Die GbR hat auch Nachteile, auch deswegen solltet ihr euch informieren. Auch ein Gespräch mit einem Steuerberater oder Juristen schadet nicht. Ich hatte da Freunde, die die entsprechenden Fächer studiert haben, und mir im Austausch gegen Essenseinladungen grundlegende Kenntnisse vermittelt haben. 
Das ist schonmal kein schlechter Anfang.
Wieviel Startkapital sollte man haben?
Was braucht ihr für euer Lernstudio denn? Ich persönlich würde versuchen, das ganze mit dem geringstmöglichen Aufwand auf die Beine zu stellen und dann in dem Maße weiter zu investieren, in dem der Unsatz (hoffentlich) steigt. Der Raum, in dem ihr Nachilfe gebt, kann für den Anfang auch stunden- oder tageweise angemietet sein. Dann eine Homepage und Werbematerial - das muss auch nicht die Welt kosten, selbst wenn man einen Profi beauftragt (und das solltet ihr, denn wenn den ersten Eindruck der Kunden mit selbstgepanschten Flyern verderbt, ist das nicht schön.)
Sinnvoll ist auch, wenn ihr nebenher noch andere Einnahmequellen habt, von denen ihr Leben könnt, während das Lernstudio „anläuft“ (oder nicht).
Ich denke, die Anfangsinvestition kann man bei einem solchen Projekt sehr gering halten - ihr braucht ja weder Werkzeuge noch Maschinen noch Waren oder Material, denn das, was ihr verkauft, habt ihr bereits, nämlich eure eigenen Fähigkeiten als Lehrer.
lg,
Max