Hallo,
wie exponiere ich eine Matrix, die nicht die Jordon Normalform hat?
exp
(t 4t
t t)
was ist
(1 4
1 1) hoch k? Diese Matrix hat auch nicht die JNF. Kann ich diese irgendwie aufteilen?
Dies brauche ich für die Ermittlung sämtlicher Lösungen einmal eines Differentialgleichungssystems und einmal eines diskreten dynamischen Systems.
Vielen Dank im voraus für Hilfe.
Melanie
wie exponiere ich eine Matrix, die nicht die Jordon Normalform
hat?exp
(t 4t
t t)
Wenn A eine quadratische Matrix ist, gilt für jede komplexe Zahl k die Gleichung:
exp(kA) = E + SUM[n=1,oo][(kn/n!) * An]
womit wir bei deiner zweiten Frage sind:
was ist
(1 4
1 1) hoch k? Diese Matrix hat auch nicht die JNF. Kann ich
diese irgendwie aufteilen?
Die Rechnung geht gemäß den Multiplikationsregeln für Matritzen, also mußt du nur k-mal die Matrix mit sich selbst multiplizieren.
Gruß
Tyll
Hallo Melanie,
wie exponiere ich eine Matrix, die nicht die Jordon Normalform
hat?exp
(t 4t
t t)
Das kommt auf die Definition an (habe schon mehrere gesehn). Ich vermute wie bereits von Tyll erwähnt, dass man die Matrix in das Entwicklungspolynom der e-funktion einsetzt.
was ist
(1 4
1 1) hoch k? Diese Matrix hat auch nicht die JNF. Kann ich
diese irgendwie aufteilen?
Ja, kann man:
Diese Matrix ist diagonalisierbar. D.h., es gibt eine Matrix P, so dass gilt
D = P-1*A*P
D hat dabei Diagonalgestalt und enthält die Eigenwerte von A.
Daraus lässt sich Ak ableiten.
Ak = P * Dk * P-1
P kann man rel. leicht ermitteln. Die Spalten von P sind die Basisvektoren der jeweiligen Eigenräume.
Für A = ( 1,4 | 1,1 ) ergeben sich
P = ( 2,-2 | 1,1 )
D = ( 3,0 | 0,-1 )
P-1 = ( 1/4,1/2 | -1/4,1/2)
Ak = P * ( 3k,0 | 0, (-1)k ) * P-1
oder Zusammengefasst:
Ak = ( 1/2(3k+1), (3k-1) | 1/4(3k-1), 1/2(3k+1) )
falls k gerade. Für k ungerade kehren sich die Vorzeichen um.
Gruß Frank 
Das kommt auf die Definition an (habe schon mehrere gesehn).
Ich vermute wie bereits von Tyll erwähnt, dass man die Matrix
in das Entwicklungspolynom der e-funktion einsetzt.
Etwas genauer verwendet man die Exponentialreihe, was eigentlich die einzig vernünftige Methode ist.
(1 4
1 1) hoch k? Diese Matrix hat auch nicht die JNF. Kann ich
diese irgendwie aufteilen?Ja, kann man:
Diese Matrix ist diagonalisierbar. D.h., es gibt eine Matrix
P, so dass gilt
D = P-1*A*P
Das ist aber nichts anderes als die Matrix auf Jordanform zu bringen, wovon die Diagonalisierung ja nur ein Spezialfall ist.
Und im Komplexen kann man dies immer, im rellen Fall muß man eventuell vorher komlexifizieren.
All Deine Ausfäührungen stimmen dann, man muß sich nur vorstellen, daß statt der Diagonalmatrix dann dort die Jordanform steht. Die Bestimmung der Jordanform ist dann natürlich auch noch etwas schwieriger.
Viele Grüße
Sherlock
Vielen Dank an Alle!!!
Melanie