Hallihallo!
Folgendes bereitet mir gerade Kopfzerbrechen:
exp(x*i) läßt sich doch auch schreiben als
(exp(2*pi*i)) ^ (x/(2*pi)). (mit i = sqrt(-1) und pi=3,1415…)
exp(2*pi*i) = cos(2*pi) + i*sin(2*pi) = 1 + i*0 = 1
und 1 ^ (x/(2*pi)) = 1 für alle x.
Das würde bedeuten, daß exp(x*i) = 1 ist für alle x, was aber ganz offensichtlich nicht der Fall ist.
Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt?
Vielen Dank und viele Grüße
Floh
Hallihallo!
Servus,
Folgendes bereitet mir gerade Kopfzerbrechen:
exp(x*i) läßt sich doch auch schreiben als
Bist Du Dir da ganz sicher?
(exp(2*pi*i)) ^ (x/(2*pi)). (mit i = sqrt(-1) und
pi=3,1415…)
exp(2*pi*i) = cos(2*pi) + i*sin(2*pi) = 1 + i*0 = 1
und 1 ^ (x/(2*pi)) = 1 für alle x.Das würde bedeuten, daß exp(x*i) = 1 ist für alle x, was aber
ganz offensichtlich nicht der Fall ist.Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt?
Nicht alle Rechen-Regeln lassen sich ohne weiteres von den reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen verallgemeinern.
Vielen Dank und viele Grüße
Floh
Ciao, Christoph
Hallo Christoph,
exp(x*i) läßt sich doch auch schreiben als
Bist Du Dir da ganz sicher?
(exp(2*pi*i)) ^ (x/(2*pi)). (mit i = sqrt(-1) und
pi=3,1415…)
exp(2*pi*i) = cos(2*pi) + i*sin(2*pi) = 1 + i*0 = 1
und 1 ^ (x/(2*pi)) = 1 für alle x.
Nein, da bin ich nicht sicher (daher die unsichere Formulierung: „… läßt sich doch auch …“). Bloß weiß ich nicht, was ich bei dieser „Umformung“ Verbotenes getan hab - oder besser: wogegen ich verstoßen hab.
Nicht alle Rechen-Regeln lassen sich ohne weiteres von den
reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen verallgemeinern.
Natürlich nicht.
Sonnige Grüße
Floh
Hallo Christoph,
exp(x*i) läßt sich doch auch schreiben als
Bist Du Dir da ganz sicher?
(exp(2*pi*i)) ^ (x/(2*pi)). (mit i = sqrt(-1) und
pi=3,1415…)
exp(2*pi*i) = cos(2*pi) + i*sin(2*pi) = 1 + i*0 = 1
und 1 ^ (x/(2*pi)) = 1 für alle x.Nein, da bin ich nicht sicher (daher die unsichere
Formulierung: „… läßt sich doch auch …“). Bloß weiß ich
nicht, was ich bei dieser „Umformung“ Verbotenes getan hab -
oder besser: wogegen ich verstoßen hab.
Die „Umformung“ ist verboten! Im Komplexen gilt eben a^(b*c) = (a^b)^c im allgemeinen nicht.
Nicht alle Rechen-Regeln lassen sich ohne weiteres von den
reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen verallgemeinern.Natürlich nicht.
Sonnige Grüße
Gleichfalls! Christoph
Floh
Die Zahl 1 hat mehrere Darstellungen:
1=e^0*pi*i=e^(2pi*i)=e^(4pi*i)= usw.
Je nachdem, welche Darstellung man wählt, erhält man
verschiedene Resultate beim Potenzieren (Ausnahme:
Exponent ist ganz und reell). So ist z.B. einerseits
1^0,5=e(0*pi*i)/0,5=e^0=1, andererseits gilt
1^0,5=e^(2pi*i)/0,5=e^pi*i=-1.
1^x=1 gilt für die Darstellung 1=e^0,
für die anderen Darstellungen ist 1^x unleich 1
(Ausnahme: x ist ganz und reell).
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Nicht alle Rechen-Regeln lassen sich ohne weiteres von den
reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen verallgemeinern.
Selbstverständlich gelten alle Rechenregeln ohne Ausnahme auch für die Komplexen Zahlen.
1^0,5=e(0*pi*i)/0,5=e^0=1, andererseits gilt
1^0,5=e^(2pi*i)/0,5=e^pi*i=-1.
Schreibfehler, es muß natürlich lauten:
1^0,5=e(0*pi*i)*0,5=e^0=1, entsprechend in der nächsten Zeile:
1^0,5=e^(2pi*i)*0,5=e^pi*i=-1
Autsch. Jetzt hast Du’s mir aber gegeben. 
Vielleicht sollten wir uns erst mal darüber verständigen, was wir unter ‚Rechenregeln‘ verstehen. Ist für Dich (a^b)^c = a^(b*c) eine Rechenregel? Und wenn ja, gilt sie für alle a,b,c \in C ?
Ciao, Christoph
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Kannst du mal ein Gegenbeispiel angeben?
Hallo Christoph
Kannst du vielleicht mal ein einsichtigeres Gegenbeispiel angeben, daß diese altbekannte Regel im komplexen nicht immer gilt?
Thanx
Bender
Hi ))
Sicherlich wird niemand bestreiten, dass
1^0.5 = exp(0.5*log(1)) = exp(0) = 1
Nun wissen wir alle, dass 1 = e^(i*2*pi) gilt:
[e^(i*2*pi)]^0.5 = e^(i*2*pi*0.5) = e^(i*pi) = -1
Da 1 ungleich -1 ist, muss die verwendete Rechenregel:
(a^b)^c = a^(b*c)
offensichtlich falsch sein …
cu Stefan.
Tut mir leid, der Ton war wohl etwas rechthaberisch.
(a^b)^c=a^(b*c) ist eine Rechenregel, sie gilt ohne Ausnahme auch für komplexe Zahlen.
Die Schwierigkeit bei komplexen Zahlen besteht darin, daß das Argument (=Winkel zur positiven x-Achse) nur bestimmt ist bis auf Vielfache von 2pi. Hieraus folgt dann die Mehrdeutigkeit von a^b, wenn b nicht ganzzahlig ist.
Die vermeintlichen Widersprüche in den anderen Beiträgen beruhen darauf, daß 1^x gleich 1 gesetzt wurde, was eben i.a. nicht zutrifft.
Tut mir leid, der Ton war wohl etwas rechthaberisch.
Gibt schlimmeres.
(a^b)^c=a^(b*c) ist eine Rechenregel, sie gilt ohne Ausnahme
auch für komplexe Zahlen.
Hmm, also darüber kann man sich streiten. Wie Du selbst weiter unten schreibst, ist der Ausdruck a^b im allgemeinen nicht eindeutig. Wenn man die Gleichung als Gleichung zwischen Mengen ansieht, ist sie schon okay. Das ist aber IMHO nicht mehr das, was die meisten Menschen, die ledigliche reelle Zahlen kennen, sich unter einer Rechenregel vorstellen…
Die Schwierigkeit bei komplexen Zahlen besteht darin, daß das
Argument (=Winkel zur positiven x-Achse) nur bestimmt ist bis
auf Vielfache von 2pi. Hieraus folgt dann die Mehrdeutigkeit
von a^b, wenn b nicht ganzzahlig ist.Die vermeintlichen Widersprüche in den anderen Beiträgen
beruhen darauf, daß 1^x gleich 1 gesetzt wurde, was eben i.a.
nicht zutrifft.
Jein. Letzten Endes hat das alles dieselbe Wurzel. Wie ist denn a^b für komplexe a, b definiert? Als a^b := e^(ln a * b). Und ln a ist (für komplexe a) nicht eindeutig, da die Exponentialfunktion im komplexen nicht injektiv ist, im Gegensatz zum reellen Fall.
Ciao, Christoph
Beispiel: a=1+i, b=1+2i, c=1+3i. Dann ist
a^b=(1+i)^(1+2i)=e^((ln(2^0,5)+pi*i/4)*(1+2i)), und damit
(a^b)^c=e^((ln(2^0,5)+pi*i/4)*(1+2i)*(1+3i)). (1)
Andererseits erhält man mit b*c=(1+2i)*(1+3i) die
Gleichung
a^(b*c)=e^((ln(2^0,5)+pi*i/4)*(1+2i)*(1+3i)). (2)
Die rechten Seiten in (1) und (2) sind gleich.
Die Produkte im Exponenten werden wie üblich gebildet, wobei
1^2=-1 zu beachten ist, anschließend ist die Eulerrelation anzuwenden. In beiden Fällen erhält man den Wert
-0,002-0,003i
auf 3 Nachkommastellen genau.
P.S.: in der 4. Zeile von unten muß es i^2=-1 lauten.
Beispiel: a=1+i, b=1+2i, c=1+3i. Dann ist
Beispiel wofür?
a^b=(1+i)^(1+2i)=e^((ln(2^0,5)+pi*i/4)*(1+2i)), und damit
(a^b)^c=e^((ln(2^0,5)+pi*i/4)*(1+2i)*(1+3i)). (1)
Genau das funktioniert im allgemeinen eben nicht. Da, wie ich schon schrieb, die Exponentialfunktion im Komplexen nicht injektiv ist, besitzt sie keine Umkehrfunktion. Nochmals: Der Logarithmus ist im Komplexen _nicht_ die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Wenn Du Stetigkeit forderst, kannst Du den Logarithmus noch nicht mal auf ganz C definieren.
Andererseits erhält man mit b*c=(1+2i)*(1+3i) die
Gleichunga^(b*c)=e^((ln(2^0,5)+pi*i/4)*(1+2i)*(1+3i)). (2)
Die rechten Seiten in (1) und (2) sind gleich.
Ja und? Was wolltest Du jetzt zeigen?
Die Produkte im Exponenten werden wie üblich gebildet, wobei
1^2=-1 zu beachten ist, anschließend ist die Eulerrelation
anzuwenden. In beiden Fällen erhält man den Wert-0,002-0,003i
auf 3 Nachkommastellen genau.
?!? Äh, das beweist doch sowieso überhaupt nichts.
Ciao, Christoph