Hi
Ich wollte nur kurz wissen, ob meine bisherigen Berechnungen stimmen, damit ich „sicher“ weiterrechnen kann ohne einen grundlegenden Denkfehler drin zu haben.
Ich hab ne Darstellung der Folgeglieder:
a_(n+1)=6a_n - 8a_(n-1) mit a_0=0 und a_1=2
(Unterstriche deuten Tiefstellung an. Also ist n bzw. n+1 und n-1 tiefgestellt)
stimmt es, dass a_2 = 6*2 - 8*1 = 4 ist?
demnach wären die nächsten Fogleglieder
a_3 = -14
a_4 = 136
a_5 = -1058
Danke und Grüße
Laralinda
a_(n+1)=6a_n - 8a_(n-1) mit a_0=0 und a_1=2
stimmt es, dass a_2 = 6*2 - 8*1 = 4 ist?
demnach wären die nächsten FoglegliederDanke und Grüße
Laralinda
Hallo Linda !
Ich glaube da hast du dich vertan.
a0=0
a1=2
a2=6*a1-8*a0=6*2-8*0=12
a3=6*a2-8*a1=6*12-8*2=56
usw.
Jetzt kriegst du es sicher hin.
Grüße
hendrik
Ich glaube da hast du dich vertan.
a0=0
a1=2
a2=6*a1-8*a0=6*2-8*0=12
a3=6*a2-8*a1=6*12-8*2=56
usw.
Jetzt kriegst du es sicher hin.
Hi,
Wie üblich für mich in Mathe gehts jetzt mit den Problemen weiter…
Ich hab inzwischen durch Googlen rausgefunden, dass die explizite Darstellung 4^n-2^n sein muss.
Aber wie KOMMT man auf soetwas?
Ich habe es natürlich zuerst mit herumprobieren versucht. Gibt es ein richtiges Verfahren wonach man gehen muss, oder handelt es sich immer nur um herumprobieren?
(Für offensichtlich arithmetische oder geometrische Folgen - klar. Aber hier kommt ne 0 vor und arithmetisch ist sie offenbar dadurch schon nicht, dass es exponentiell irgendwie ansteigt)
Grüße
Laralinda
hi,
Aber wie KOMMT man auf soetwas?
da gibts mehrere wege:
a) durch zufall: die folge hatte ich doch schon mal, das war doch …
b) durch erfahrung: die folge ist verwandt mit der fibonacci-folge a_n+1 = a_n + a_n-1, die auch exponenziell wird. also wirds wohl auch eine exponenzielle darstellung geben. suchma also danach …
c) durch herumprobieren: so wie du …
d) durch genaue analyse: die zahlen 2 = 2 . 1, 12 = 4 . 3, 56 = 8 . 7 … haben doch die form 2^n . (2^n - 1) gemeinsam. und - das kann man leicht ausprobieren - diese gesetzmäßigkeit setzt sich fort.
und 2^n . (2^n - 1) = (2^n)^2 - 2^n = (2^2)^n - 2^n = 4^n - 2^n
usw.
m.
an+1 = 6 an – 8 an–1 [
]
Hallo Laralinda,
Ich hab inzwischen durch Googlen rausgefunden, dass die
explizite Darstellung 4^n-2^n sein muss.
Aber wie KOMMT man auf soetwas?
es gibt kein Schema dafür, also eine „Fertigformel“, die immer die richtige Lösung liefert. Der Schlüssel zum Erfolg heißt „intelligentes“ Herumprobieren.
Aber hier kommt ne 0 vor und arithmetisch ist sie offenbar
dadurch schon nicht, dass es exponentiell irgendwie ansteigt)
Genau richtig, und mit dieser Erkenntnis hast Du schon eine wertvolle Information gewonnen.
Ich komme weiter unten darauf zurück, aber zunächst stellen wir uns mal dumm, und fragen uns, ob Deine Folge vielleicht „was Potenzmäßiges“ ist. Der einfachste Fall von „was Potenzmäßigem“ ist an = f nk, mit f als konstantem Vorfaktor und k als konstantem Exponent.
Setzen wir das in [] ein, kommt heraus:
f (n + 1)k = 6 f nk – 8 f (n – 1)k
Zunächst sehen wir, dass der f-Faktor rausfällt. OK, weg damit. Als nächstes die beiden Klammern. Mangels Kenntnis von k können wir die zwar nicht auflösen, aber wir können immerhin das erste Glied der Entwicklung angeben: es ist nach dem binomischen Satz beidemale nk. Außerdem wissen wir, dass alle weiteren Glieder niedrigere Exponenten haben (k – 1, k – 2 usw.) und das berechtigt uns zu einem Koeffizientenvergleich (wir sind gespannt!).
Die Gleichung nimmt also folgende Gestalt an:
nk + … = 6 nk – 8 (nk – … + …)
nk + … = 6 nk – 8 nk + 8 … – 8 …
nk + … = –2 nk + 8 … – 8 …
Das genügt, um den Koeffizientenvergleich machen zu können – besser gesagt, um zu sehen, dass er fehlschlägt, denn das tut er ja schon beim nk-Glied. Links 1 und rechts –2 als Koeffizient: Geht nicht!
Ergebnis: an = f nk können wir vergessen.
Ein neuer Ansatz muss her. Da, wie Du schon sagtest, die Folge einen exponentiellen Eindruck macht, probieren wirs mit an = f cn mit f und c als (noch) unbekannten Konstanten.
Dass f gleich wieder rausfallen wird, wissen wir eigentlich schon, aber trotzdem – wir bekommen
f cn+1 = 6 f cn – 8 f cn–1
Nach Rauskürzen von f und Alles-auf-die-linke-Seite-bringen:
cn+1 – 6 cn + 8 cn–1 = 0
cn–1 (c2 – 6 c + 8) = 0
Schauschau – ein Produkt, das gleich Null ist! Der erste Faktor ist sicher ungleich Null, also muss der zweite für „Nullheit“ sorgen.
Die quadratische Gleichung c2 – 6 c + 8 hat zwei reelle Lösungen, nämlich 2 und 4. Das ist doch mal nicht schlecht! Aber: Wie eine Probe schnell enthüllt, beschreiben leider weder an = 2n noch an = 4n die Folge.
Blöd! Was tun? Scharf nachdenken! Was passiert, wenn wir den Ansatz an = cn – dn wählen?
Einsetzen und ausrechnen führt auf:
cn–1 (c2 – 6 c + 8) = dn–1 (d2 – 6 d + 8)
Wir verstehen, warum das so und nicht anders aussieht, nämlich weil die Gleichung [] additiv ist. Aus demselben Grund fiel auch immer das doofe f weg (man erinnere sich an die Eigenschaften einer Linearkombination). Und noch mehr: Aus dem Fehlschlagem unseres ersten Ansatzes (Potenz) können wir wegen dem additiven Charakter von [] sofort schließen, dass auch jeder Polynomansatz ∑j = fj nj schiefgehen würde. Vor dem Hintergrund dieser Erkenntnis ist der ebenfalls additive Ansatz an = cn – dn also sehr sinnvoll.
Von den vielen Möglichkeiten, die letzte Gleichung zu erfüllen, ist die einfachste, dass beide Klammern separat Null werden, denn dann sind beide Seiten Null.
c2 – 6 c + 8 = 0 und d2 – 6 d + 8 = 0
Kommt uns das nicht bekannt vor? Na klar, das ist ja beidemale die quadratische Gleichung von oben, die die Lösungen 2 und 4 hat.
c und d können nicht denselben Wert haben, sonst wird cn – dn zu Null. Bei c = 2 und d = 4 wären alle Folgenglieder negativ, das fällt also auch flach. Damit bleibt nur übrig: c = 4 und d = 2, also
an = 4n – 2n
Uff 
Gruß
Martin