Hallo!
Weiß jemand, ob man Exponentialfunktionen (und auch Logarithmusfunktionen) auf Matrizen oder Vektoren anwenden darf? Wie würde dann beispielsweise die Berechnung einer 2x2 Matrix A mit den Einträgen {a,b} und {c,d} aussehen? Letztendlich ist die Frage, ob exp(A)= {exp(a),exp(b)};{exp©,exp(d)} ist?
LG Britta
Tach,
Weiß jemand, ob man Exponentialfunktionen (und auch
Logarithmusfunktionen) auf Matrizen oder Vektoren anwenden
darf? Wie würde dann beispielsweise die Berechnung einer 2x2
Matrix A mit den Einträgen {a,b} und {c,d} aussehen?
Letztendlich ist die Frage, ob exp(A)=
{exp(a),exp(b)};{exp©,exp(d)} ist?
Nein. http://de.wikipedia.org/wiki/Matrixexponential ist bekannt?
Gruss
Paul
Nein war mir bisher nicht bekannt… Hmm also für bestimmte Matrizen (Diagonalmatrizen) gehts und sonst wirds unübersichtlich, versteh ich das so richtig?
Lg und danke für die schnelle Antwort
Nein war mir bisher nicht bekannt… Hmm also für bestimmte
Matrizen (Diagonalmatrizen) gehts
Ja, das ist ja dann einfach nur e hoch die einzelnen Einträge.
und sonst wirds
unübersichtlich, versteh ich das so richtig?
Wenn die Matrix keine Diagonalgestalt hat, wirds auf jeden Fall deutlich aufwendiger zu rechnen - für den Fall das die quadratische Matrix genausoviele Eigenvektoren wie Zeilen / Spalten hat, kenne ich aus ner Mathevorlesung auch noch ne Berechnungsvorschrift, aber falls das nicht der Fall ist, kommt irgendwie die Jordansche Normalform ins Spiel.
Da ich aber nicht weiß ob du überhaupt etwas mit dem Begriff Eigenvektor anfangen kannst - machts glaub ich noch nicht soviel Sinn diese Berechnungsvorschrift zu beschreiben.
Viele Grüße
Manny
Hallo Britta.
Wie würde dann beispielsweise die Berechnung einer 2x2
Matrix A mit den Einträgen {a,b} und {c,d} aussehen?
Du schreibst die Exponentialfunktion in ihrer Taylordarstellung, also
\exp(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}
Dann kannst Du für x auch quadratische Matrizen einsetzen. Bei anderen Matrizen oder Vektoren bekommst Du Probleme mit den Multiplikationen.
Wenn Deine quadratische n*n-Matrix M nicht diagonal ist, dann solltest Du sie zuerst diagonalisieren. Dazu suchst Du eine Transformationsmatrix T, sodass
T M T^{-1} = D = \text{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n)
eine Diagonalmatrix ist. Dann ist nämlich
M = T^{-1} D T
und damit
M^r = \big( T^{-1} D T \big)^r = T^{-1} D^r T = T^{-1} \text{diag}(d_1^r,d_2^r\ldots,d_n^r)T.
Liebe Grüße,
TN