Exponentialfunktionen

Wissenschaft Mathematik
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Hey Leute,
wir haben vor kurzem mit Exponentialfunktionen und logarithmen angefangen. Bis jetzt haben wir nur über die 3 Logarithmengesetze gesprochen und einige Aufgaben gelöst. Da ich, wenn es um Mathe geht, ziemlich neugierig bin, habe ich mich mal an weitere Aufgaben getraut, bei denen man glaube ich mehr wissen muss:

100^2x = 10* 10^(x+1)

Mein erster Versuch sah so aus:

100^2x = 10* 10^(x+1) |lg

2x*lg100 = lg10*(x+1)*lg10 | lg100=2 und lg10=1 daraus folgt

2x*2 = 1*(x+1)*1

4x = x+1 |-x |:3

x= 1/3
Probe sagt, das diese Lösung falsch ist :S

Zweiter Versuch:

Ich habe mich auf Mathematik.net erkundigt und bin auf folgendes Gesetz gestoßen:
Wenn zwei Potenzen gleich sind, dann folgt aus der Gleichheit der beiden Basen auch die Gleichheit der Exponenten.
Deswegen habe ich versucht die Basen gleich zu bekommen und x mithilfe dieses Gesetzes zu lösen:

100^2x = 10* 10^(x+1) | 100= 10²

(10²)^2x = 10* 10^(x+1) | beim potenzieren einer Potenz werden
| die exponenten multipliziert

10^4x = 10* 10^(x+1) | das obrige Gesetz

4x= 10*(x+1)| klammer auflösen

4x=10x+10 | -4x

0=6x+10 |-10

6x=-10 | /6

x= -10/6 = -5/3

Anfangs dachte ich, das das jetzt richtig wäre, da sich die Zahlen bei der Probe im Taschenrechner nicht unterscheiden, sondern nur die Kommastelle^^

Da beide gleichungen einen (für mich) logischen Lösungsweg haben, frage ich mich wieso die Lösungen nicht richtig sind :S

Kann mir da eventuell jemand behilflich sein?=)

LG Mosalol

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Hey Leute,

Hi

wir haben vor kurzem mit Exponentialfunktionen und logarithmen
angefangen. Bis jetzt haben wir nur über die 3
Logarithmengesetze gesprochen und einige Aufgaben gelöst. Da
ich, wenn es um Mathe geht, ziemlich neugierig bin, habe ich
mich mal an weitere Aufgaben getraut, bei denen man glaube ich
mehr wissen muss:

100^2x = 10* 10^(x+1)

Mein erster Versuch sah so aus:

100^2x = 10* 10^(x+1) |lg

2x*lg100 = lg10*(x+1)*lg10 | lg100=2 und lg10=1 daraus folgt

Hier ist dein fehler lg(10*10^(x+1)) ist lg(10)+lg(x+1)
das ist die logarithmusregel
ln(a*b)=ln(a)+ln(b)
sie wird logisch wenn man die erste regel e^(a+b)=e^a*e^b aufschreibt und den logarithmus davon bildet

4x=x+2
x=2/3

Zweiter Versuch:

Ich habe mich auf Mathematik.net erkundigt und bin auf
folgendes Gesetz gestoßen:
Wenn zwei Potenzen gleich sind, dann folgt aus der Gleichheit
der beiden Basen auch die Gleichheit der Exponenten.
Deswegen habe ich versucht die Basen gleich zu bekommen und x
mithilfe dieses Gesetzes zu lösen:

100^2x = 10* 10^(x+1) | 100= 10²

(10²)^2x = 10* 10^(x+1) | beim potenzieren einer Potenz werden
| die exponenten multipliziert

10^4x = 10* 10^(x+1) | das obrige Gesetz

10*10^(x+1)= 10^(x+2)

->
4x = x+2
x=2/3

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Hallo Mosalol,

100^2x = 10* 10^(x+1) |lg

2x*lg100 = lg10*(x+1)*lg10

auf der rechten Seite steckt der Fehler: Logarithmus eines Produktes ist gleich Summe der Logarithmen der Faktoren (ich nehme an, dass das eines der Logarithmengesetze ist, die ihr schon gelernt habt), also

\log(10\cdot 10^{x+1}) = \log 10 + \log(10^{x+1}) = \log 10 + (x+1) \log 10

Zweiter Versuch:
(10²)^2x = 10* 10^(x+1) | beim potenzieren einer Potenz werden
| die exponenten multipliziert

10^4x = 10* 10^(x+1) | das obrige Gesetz

Hier hast du das „obige Gesetz“ falsch angewendet. Auf der rechten Seite hast du 10 * 10^(x*1). Du hast aber so getan, als hättest du 10^(10^(x+1)). An deiner Stelle würde ich bei diesem Weg zunächst die beiden 10er-Potenzen zusammenfassen (10^1 * 10^(x+1) = 10^(x+2)), dann klappt’s auch mit deinem Gesetz.

Viel Erfolg weiterhin,

Andreas

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Hey Andreas,
vielen Dank für deine Hilfe erst recht für diese Erklärung:

\log(10\cdot 10^{x+1}) = \log 10 + \log(10^{x+1}) = \log 10 +
(x+1) \log 10

)

Doch ich hätte noch eine Frage und zwar:

die Ausgangsgleichung war ja:

100^2x = 10* 10^(x+1)

so…wenn ich jetzt logarithmiere kommt ja:

2x*lg100 = lg(10*10^(x+1))

daraus schließe ich, das wenn ich beim logarithmieren eines produktes (10* 10^(x+1)) diese Gleichung in klammern setze und vor diese Klammer dann log schreiben muss. Kann man das so verallgemeinern oder ist das schwachsinn?

LG Mosalol

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Hey Pedr01988,
vielen Dank für die schnelle Antwort :smile:
Anfangs war es etwas kompliziert, doch nach mehrmaligem durchlesen war es verständlich :smile:

LG Mosalol

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Hallo Mosalol,

die Ausgangsgleichung war ja:

100^2x = 10* 10^(x+1)

so…wenn ich jetzt logarithmiere kommt ja:

2x*lg100 = lg(10*10^(x+1))

daraus schließe ich, das wenn ich beim logarithmieren eines
produktes (10* 10^(x+1)) diese Gleichung in klammern setze und
vor diese Klammer dann log schreiben muss. Kann man das so
verallgemeinern oder ist das schwachsinn?

Das kann man durchaus so verallgemeinern: log ist eine Funktion, die du auf einen Wert anwenden kannst, hier jeweils einmal auf die linke und die rechte Seite der Gleichung. Streng genommen müsstest du also als ersten Schritt

\log(100^{2x}) = \log(10\cdot 10^{x+1})

schreiben und erst dann die linke Seite mit einem der Logarithmengesetze umformen in das, was du oben geschrieben hattest.

Mein Mathelehrer hat uns als Wichtigstes bei Logarithmen beigebracht: „Ein Logarithmus ist eine Hochzahl.“ Der Logarithmus \log_a b ist nämlich die Hochzahl, die ich an die Basis a schreiben muss, damit b herauskommt. In dem Sinne könnte man deine Ausgangsgleichung auch so betrachten:

100^{2x} = 10^{\log(100^{2x})} = 10^{\log(10\cdot 10^{x+1})} = 10\cdot 10^{x+1}

Und aus dem mittleren Teil folgen dann mit dem Gesetz, das du gefunden hattest (die Potenzen sind gleich, wenn bei gleicher Basis die Hochzahlen übereinstimmen), die Schritte von eben.

Andreas

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Ahhh, okay vielen Dank Andreas :smile:

Schönen Tag noch

LG Mosalol