hallo,
ich bin schon am verzweifeln.
wie kann man die gleichung 4^(x-1)+4^(2x-4) = 32 ohne logarithmus ausrechnen?
man müsste es herausheben, jedoch weis ich nicht wie dies bei hochzahlen funktionieren soll.
bitte um hilfe,
danke paul
Hallo,
das kann man auch mit Logarithmus nicht ausrechnen. Eigentlich geht es nur numerisch.
Aber: Wenn man sich die Gleichung so ansieht … die Summe zweier Viererpotenzen soll 32 ergeben, eine natürliche Zahl. Da vermutet man, dass das nur geht, wenn beide Summanden auch natürliche Zahlen sind. Und da kommt wohl nur 16 + 16 in Frage. Also probieren wir es mal - für den ersten Summanden muss dann der Exponent = 2 sein, also x = 3. Und das passt dann auch für den zweiten Summanden.
Somit ist x = 3 wohl die einzige Lösung.
Olaf
Hallo,
das kann man auch mit Logarithmus nicht ausrechnen. Eigentlich
geht es nur numerisch.
Nö,
Multipliziere mit 4^4 durch und substituiere u=4^x, dann erhältst du eine quadratische Gleichung
u^2+4^3\cdot u-2\cdot 4^6=0
Multipliziere bloß die Potenzen nicht aus oder nimm einen Taschenrechner, sonst wird das böse enden. Eine Lösung ist die 64, was über die Rücksubstitution auf die bereits unten erwähnte 3 führt. Die zweite negative Lösung führt zu keiner weiteren reellen Lösung.
Aber: Wenn man sich die Gleichung so ansieht … die Summe
zweier Viererpotenzen soll 32 ergeben, eine natürliche Zahl.
Da vermutet man, dass das nur geht, wenn beide Summanden auch
natürliche Zahlen sind. Und da kommt wohl nur 16 + 16 in
Frage. Also probieren wir es mal - für den ersten Summanden
muss dann der Exponent = 2 sein, also x = 3. Und das passt
dann auch für den zweiten Summanden.
Somit ist x = 3 wohl die einzige Lösung.
Stimmt und dieser Weg ist mir persönlich auch sympathischer.
mk
Moin,
Multipliziere bloß die Potenzen nicht aus oder nimm einen
Taschenrechner, sonst wird das böse enden. Eine Lösung ist die
64, was über die Rücksubstitution auf die bereits unten
erwähnte 3 führt. Die zweite negative Lösung führt zu keiner
weiteren reellen Lösung.
Ok., wir haben also 64 = 4^x, wie kommst Du jetzt ohne Logarithmen oder Raten auf x = 3?
Wenn ich Logarithmen nicht nutzen darf (Vorgabe), kann ich nur raten, dies kann ich dann aber doch auch sofort bei der Ausgangsgleichung machen, warum dann den Umweg über die Substituition?
Gruß Volker
Moin Moin,
Ok., wir haben also 64 = 4^x, wie kommst Du jetzt ohne
Logarithmen oder Raten auf x = 3?
Logarithmen stehen ja in einer Tabelle, bzw. der TR spuckt sie aus, das darf man nicht, da hast du Recht.
Bei 4^x =64 sieht man die Lösung einfach schneller, wenn man es gewohnt ist mit Zahlen umzugehen. Natürlich wird der zufällig am Straßenrand stehende DSDS Fan mit der Antwort überfordert sein (wie über die Hälfte einer durchschnittlichen Schüleransammlung auch, wenn man ihnen nicht hilft).
Man kann natürliche sagen, dass das Raten ist, ich behaupte, dass das mit Denken zu tun hat. Es kann nicht 1 sein, 0 auch nicht 4 Quadrat ist 16 und 16*4 ist 64, wenn man kein Taschenrechnerjunkie ist. Raten wäre, dass man zufällig eine Zahl einsetzt und diese dann stimmt.
Wenn ich Logarithmen nicht nutzen darf (Vorgabe), kann ich nur
raten, dies kann ich dann aber doch auch sofort bei der
Ausgangsgleichung machen, warum dann den Umweg über die
Substituition?
Umweg über die Substitution, weil die einfach zu „ratende“ 3 vielleicht nicht die einzige Lösung ist und viele Schüler einfach rechnen wollen, weil sie nicht raten dürfen oder wollen. Allerdings wird der größte Teil mit der Substitution überfordert sein, insofern verstehe ich auch die Frage im ursprünglichen Post nicht.
Gruß
M.
Hallo M,
erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
„Raten“ ist vlt. die falsche Vokabel „Probieren“ ist evtl. besser. Da es sich um eine typische „Schul-Mathematik“-Aufgabe handelt, kann mit Recht eine ganzzahlige Lösung vermutet werden, diese sind i.d.R. auf den Bereich von -5 bis +5 eingeschränkt, oft auch nur von -3 bis +3.
Das „Sehen“ der Lösung ist tatsächlich nur nach viel Übung und mit einem Gefühl für Zahlen möglich. Da sind wir uns einig.
Einen schönen Sonntag.
Gruß Volker
vielen dank für eure antworten,
nun steh ich mal wieder an.
folgende gleichung muss ich berechnen:
2^(x-1) + 2^(x-2) + 3 = 3^(4x-10)
soweit bin ich bereits:
2^(x-1) + 2^(x-2) = 3^(4x-10) - 3
2^(x-2) * 2^1 = 3^(4x-10) - 3
durch raten bin ich wieder auf die lösung x = 3 gestoßen jedoch bräuchte ich den lösungsweg.
hier darf ich auch logarithmieren.
danke, paul
Hallo,
hier eine mögliche Lösung, aber ich fasse mich (absichtlich) kurz.
folgende gleichung muss ich berechnen:
2^(x-1) + 2^(x-2) + 3 = 3^(4x-10)
Wegen
2^{-1} + 2^{-2} = 2 \cdot 2^{-2} + 2^{-2} = (2 + 1) \cdot 2^{-2} = 3 \cdot 2^{-2}
wird Deine Gleichung zu
3 \cdot 2^{-2} \cdot 2^x + 3 = 3^{4x-10}\quad|:3
2^{x-2} + 1 = 3^{4x-11}
Wenn Du jetzt an „2 + 1 = 3“ denkst, ist die Lösung x = 3 leicht zu erraten, da für x = 3 sowohl der 2-Exponent x – 2 links als auch der 3-Exponent 4x – 11 rechts den Wert 1 annimmt.
Gruß
Martin