Exponentialgleichungen

[Falk_ea60b6]

Hallo!

ln(x)=1/x
bzw. e^1/x=x

Näherungsweise ergibt sich 1,76. Wie aber löst man solche Exponentialgleichungen exakt?

Falk

[M_L_]

Hallo von der SAP Baustelle.

ln(x)=1/x

Nicht doch (ln(x)’) = 1/x ?

bzw. e^1/x=x

Näherungsweise ergibt sich 1,76. Wie aber löst man solche
Exponentialgleichungen exakt?

Stichwort: Taylorreihe der e-Funktion. Siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe
Und exakt kann man das (noch) nicht lösen, da e bisher nicht
bis auf die letzte Zahl bestimmt wurde

HTH
mfg M.L.

***z. Thema Turbostudent***
5 Semester studiert. Nicht schlecht, oder ?
http://www.uni-hohenheim.de/presse/pm_anzeigen.php?i…

[Falk_ea60b6]

>>ln(x)=1/x
>Nicht doch (ln(x)’) = 1/x ?

Ja und, kannst du daraus eine Lösung ableiten?

>>Und exakt kann man das (noch) nicht lösen, da e bisher nicht
>>bis auf die letzte Zahl bestimmt wurde

Also wenn dass das Problem ist, dann solltest du ja kein Problem damit haben die Gleichung a^x=x für a ∈ IR zu lösen.

[M_L_]

Hallo nochmal.

>>ln(x)=1/x
>Nicht doch (ln(x)’) = 1/x ?

Ja und, kannst du daraus eine Lösung ableiten?

Zumindest sehe ich den Zusammenhang (immer noch) nicht…
Aber den Weg über die Taylorreihe wird eine Rechner gehen, wenn er dieses Monstrum ausrechnen soll.

>>Und exakt kann man das (noch) nicht lösen, da e bisher
nicht
>>bis auf die letzte Zahl bestimmt wurde

Also wenn dass das Problem ist, dann solltest du ja kein
Problem damit haben die Gleichung a^x=x für a
∈ IR zu lösen.

Na klar: mittels Fixpunktiteration. Fehlt nur noch ein guter Wert für a (so er nicht e ist und das Ergebnis 1/x sein soll )

mfg M.L.

[Anonym_d5503925c587]

Hi…

>>ln(x)=1/x
>Nicht doch (ln(x)’) = 1/x ?

Wenn schon Klammern: (ln(x))’ = 1/x

Ja und, kannst du daraus eine Lösung ableiten?

Muß er nicht, denn sie steht schon da. Obige Zeile gilt für jedes x > 0.
Ich denke aber, das ist nicht was Du wissen willst.

genumi

[Oliver_a32c43]

Hallo,

>>ln(x)=1/x
>Nicht doch (ln(x)’) = 1/x ?

Ja und, kannst du daraus eine Lösung ableiten?

Man kann höchstens beweisen, dass obige Gleichung stimmt.

Und das geht so:

y = ln(x) x = e<sup>y</sup>

Und folglich:

dy 1 1
-- = ----- = ---
dx dx x
 --
 dy

Warnung: Im Falle einer Prüfung bei einem Mathematik-Professor ist von diesem Lösungsweg allerdings abzuraten, da man sonst Gefahr läuft aus dem Büro geprügelt zu werden.

Gruß
Oliver

[Torsten_Theisinger]

Deine Frage verstehe ich so, daß du wissen möchtest, ob die Gleichung mathematisch so umgeformt werden kann, daß auf der einen Seite nur noch x steht.

Dies ist möglich, allerdings mußt du selbst zu einer Definition schreiten.

Betrachten wir also die Gleichung ln(x) = 1/x .

(1) Zuerst muß nachgewiesen werden, daß die Gleichung überhaupt eine Lösung hat.

Das kann man mit Methoden der Analysis machen. Man betrachtet dazu die Funktion y (x) = ln(x) - 1/x und weist nach, daß diese Funktion eine Nullstelle hat.

Dies geht so:

Aus der Stetigkeit der Funktionen ln(x) und 1/x im Intervall (0,unendlich) folgt die Stetigkeit der Funktion y(x) = ln(x) - 1/x im Intervall (0,unendlich).

Nun betrachten wir die Funktionswerte an den Stellen x1=1/e und x2=e.

Es gilt y(x1) = -1 - e 0

und y(x2) = 1 - 1/e > 0, da e > 1.

Nach dem Zwischenwertsatz nimmt die Funktion y(x) auf dem abgeschlossenen Intervall [1/e , e] jeden Wert zwischen y(1/e) ( 0) an, also auch den Wert 0.

Dies bedeutet, die Gleichung ln(x) = 1/x hat mindestens eine Lösung x1 im Intervall (0,unendlich).

(2) Nun weisen wir nach, daß diese Lösung eindeutig ist. Die laut (1)mindestens eine vorhandene Lösung sei x1. Es gelte also ln(x1) = 1/x1.

Nun zeigen wir, daß dann gilt ln(x2) ungleich 1/x2 für x2 ungleich x1.

Wenn x2 ungleich x1 ist, gilt entweder x2 > x1 oder x2 x1 > 0. Die Funktion ln(x) ist im Intervall (0,unendlich) streng monoton wachsend. Daher gilt:

ln(x2) > ln(x1)

x2 * ln(x2) > x2 * ln(x1)

wegen x2 > x1 gilt weiterhin

x2 * ln (x1) > x1 * ln(x1) (= 1 laut Voraussetzung)

also gilt insgesamt x2 * ln(x2) > 1

ln(x2) > 1/x2 und somit ln(x2) ungleich 1/x2.

b) Es sei 0 x2 * ln(x2) ln(x2) [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[Oliver_a32c43]

Hallo

wie umständlich…

Wieso sagst du nicht einfach die Funktion

f:]0,oo[ -> IR, f(x)=1/x ist stetig, streng monoton fallend und es gilt f(D₁)=IR⁺

und die Funktion

g:]1,00[ -> IR, g(x)=ln(x) ist stetig, streng monoton wachsend und es gilt g(D₂)=IR⁺

Da beide Funktionen den selben Wertebereich haben, gibt es folglich genau eine Zahl F im Schnitt D₁ ∩ D₂ mit

ln(F) = 1/F

Gruß
Oliver

[Torsten_Theisinger]

Was Du schreibst, ist eine Behauptung. Man darf Behauptungen nur verwenden, wenn man sie auch bewiesen hat oder wenn es sich um mathematische Sätze mit hohem Bekanntheitsgrad handelt. Mir persönlich würde der Bekanntheitsgrad der genutzten Behauptung nicht ausreichen, um sie für die Beweisführung nutzen zu können.

Außerdem kann es nicht schaden, einmal einen Weg im Detail aufzuzeigen.

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[Oliver_a32c43]

Was Du schreibst, ist eine Behauptung. Man darf Behauptungen
nur verwenden, wenn man sie auch bewiesen hat oder wenn es
sich um mathematische Sätze mit hohem Bekanntheitsgrad
handelt.

… oder wenn diese „Beweise“ trivial sind.

Selbst wenn man deinem Weg folgt, so kann man z.B. die Eindeutigkeit der Zahl F doch einfach darauf zurückführen, dass

f(x) = ln(x)-1/x

streng monoton wachsend ist, was wiederum daran liegt, dass die Ableitung:

f’(x) = 1/x + 1/x²

stets größer als Null ist.

Gruß
Oliver

[Torsten_Theisinger]

Die Beweise erscheinen nur trivial. Und auch Aussagen, deren Beweis trivial erscheint, können nur verwendet werden, weil der trivial erscheinende Beweis geführt werden kann.

Auch die Definitionen der Stetigkeit und des Grenzwerts könnte man als triviale formale Umsetzungen einer anschaulich vollkommen klaren Sache interpretieren. Aber diese trivial erscheinenden Instrumente sind vollkommen unverzichtbar für haltbare mathematische Gebäude.

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[Oliver_a32c43]

Die Beweise erscheinen nur trivial.

Die Beweise erscheinen nicht nur trivial, sie sind es.

Z.B. der Beweis, dass aus der str. Monotonie die Eindeutigkeit folgt, ist einfach nur folgende Zeile:

str. Monotnie => [x1 ≠ x2 => f(x1)≠f(x2)] [f(x1)=f(x2) => x1=x2] f ist injektiv

Und auch Aussagen, deren
Beweis trivial erscheint, können nur verwendet werden, weil
der trivial erscheinende Beweis geführt werden kann

Können sie ja auch…

Gruß
Oliver

[Torsten_Theisinger]

Ich hoffe, daß du die strenge Monotonie der Funktion ln(x) - 1/x meinst und nicht die der Einzelfunktionen, denn deren Injektivität habe ich gar nicht gezeigt.

Aber mit x1 ≠ x2 kann man hier auch nicht sofort in der von dir beschriebenen Weise operieren, sondern es ist erst noch die strenge Monotonie der Funktion ln(x) - 1/x zu zeigen.

Ein Teil der Beweisführung, die du als umständlich empfindest, entspricht diesem Nachweis.

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[Oliver_a32c43]

Aber mit x1 ≠ x2 kann man hier auch nicht sofort in der
von dir beschriebenen Weise operieren, sondern es ist erst
noch die strenge Monotonie der Funktion ln(x) - 1/x zu zeigen.

Hab ich doch gemacht: die Ableitung ist

f’(x) = 1/x + 1/x²

und somit im betrachteten Definitionsbereich stets größer Null und damit f streng monoton wachsend.

Gruß
Oliver