Exponentielles Wachstum

Mone_4a2904 · 10. Mai 2007 um 10:50

Meine Schwester hat morgen Mathe-Matura und hat mich bei foldendem Problem um Hilfe gebeten, doch leider weiß ich auch keine passende Lösung. Hoffentlich könnt ihr mir weiterhelfen…

Die Angabe lautet:
Die Höhe einer Pflanze (in Meter) zur Zeit t (in Wochen seit dem Beginn der Beobachtung) soll zunächst eine Funktion h_1 mit h_1(t) = 0,02 . e^{k.t} sein. Wie hoch ist die Pflanze zu Beginn der Beobachtung? Bestimme k, wenn die Höhe der Pflanze in den ersten 6 Wochen der Beobachtung um 0,48m zugenommen hat. Leite die Gültigkeit der Gleichung für das „natürliche“ Wachstum h(t) = h_0 . e^{k.t} aus der Annahme, dass die Wachstumsgeschwindigkeit proportional zur gerade vorliegenden Höhe der Pflanze ist, her. Zeichne den Graf von h_1. Wie hoch müsste demnach die Pflanze 8 Wochen nach dem Beginn der Beobachtung sein?
Sie ist nach 8 Wochen tatsächlich aber nur 1,04m hoch. Die Höhe wird deshalb für t >= 6 durch eine Funktion h_2(t) = a - b . e^{-0,5.t} beschrieben. Bestimme a und b aus den beobachteten Höhen nach 6 und 8 Wochen, zeichne den Graf von h_2, erkläre die Bedeutung des Wertes a in der Funktionsgleichung und gib an, wann die Pflanze nach diesem Modell 1,25 m hoch sein wird.

Laut Lösungsblatt sollen folgende Werte herauskommen:
k = 0,5364793; ln h = k.t+c; h(8) = 1,46m; a = 1,354; b = 17,158; t = 10,2W

Diese Lösungen kommen mir (uns) auch alle heraus, bis auf die Lösung der theoretischen Frage, da hängen wir…

Wie kann ich die Gültigkeit der Gleichung
h(t) = h_0 . e^{k.t}
aus der Annahme, dass die Wachstumsgeschwindigkeit proportional zur gerade vorliegenden Höhe der Pflanze ist, herleiten?

Die Wachstumsgeschwindigkeit ist wohl die Ableitung, also
h’(t) = h_0 . e^{k.t} . k

Klar, die beiden unterscheiden sich nur durch die Konstante k, doch wie geht es weiter? Wie komme ich auf die angegebene Lösung? Kann mir (uns) jemand helfen?!

Merci,
Mone.

Moritz_fe1b4f · 10. Mai 2007 um 11:04

Hallo,

Diese Lösungen kommen mir (uns) auch alle heraus, bis auf die
Lösung der theoretischen Frage, da hängen wir…

Wie kann ich die Gültigkeit der Gleichung
h(t) = h_0 . e^{k.t}
aus der Annahme, dass die Wachstumsgeschwindigkeit
proportional zur gerade vorliegenden Höhe der Pflanze ist,
herleiten?

Die Wachstumsgeschwindigkeit ist wohl die Ableitung, also
h’(t) = h_0 . e^{k.t} . k

Stopp, du willst ja h(t) herleiten, also darfst du den Ausdruck dafür nicht in der Herleitung verwenden.
Der richtige Ansatz ist:
h’(t) = k * h(t)

(also h’(t) proportional zu h(t), mit Konstante k).
Das ist eine Differentialgleichung, wie man die löst hängt davon ab, was in der Schule gelehrt wurde.
Eine Möglichkeit wäre der Ansatz h(t) = A*e^(B t), ein anderer Integration:

dh / dt = k \* h(t)
dh / h(t) = k dt # Links über dh, rechts über dt integrierten:
ln(h(t)) - ln(h(0)) = k(t - t0)
# dann noch nach h(t) auflösen

Grüße,
Moritz

Mone_4a2904 · 10. Mai 2007 um 12:13

Hallo Moritz,

danke für deine schnelle Hilfe!

Stopp, du willst ja h(t) herleiten, also darfst du den
Ausdruck dafür nicht in der Herleitung verwenden.
Der richtige Ansatz ist:
h’(t) = k * h(t)
(also h’(t) proportional zu h(t), mit Konstante k).

Verstehe…

Das ist eine Differentialgleichung, wie man die löst hängt
davon ab, was in der Schule gelehrt wurde.
Eine Möglichkeit wäre der Ansatz h(t) = A*e^(B t), ein anderer
Integration:

Nach ihren Unterlagen zu urteilen, dürften sie es mittels Integration gelöst haben…

dh / dt = k * h(t)
dh / h(t) = k dt # Links über dh, rechts über dt
integrierten:
ln(h(t)) - ln(h(0)) = k(t - t0)

dann noch nach h(t) auflösen

Wie kommst du auf ln(h(t)) - ln(h(0)) = k(t - t0)?
Habe ich nach der Integration nicht einfach
ln(h(t)) = kt + c?
Woher kommt h(0) und t-t0?

LG,
Mone.

Moritz_fe1b4f · 10. Mai 2007 um 13:08

Hallo,

Das ist eine Differentialgleichung, wie man die löst hängt
davon ab, was in der Schule gelehrt wurde.
Eine Möglichkeit wäre der Ansatz h(t) = A*e^(B t), ein anderer
Integration:

Nach ihren Unterlagen zu urteilen, dürften sie es mittels
Integration gelöst haben…

dh / dt = k * h(t)
dh / h(t) = k dt # Links über dh, rechts über dt
integrierten:
ln(h(t)) - ln(h(0)) = k(t - t0)

dann noch nach h(t) auflösen

Wie kommst du auf ln(h(t)) - ln(h(0)) = k(t - t0)?

Integration auf beiden Seiten:
Integral 1/x’ dx’ von x0 bis x = ln(x) - ln(x0)
Integral k dt von t0 bis t ist k t - k t0

Habe ich nach der Integration nicht einfach
ln(h(t)) = kt + c?

Für c = -t*k0 + ln(h(t0)) ist das das gleiche.

Grüße,
Moritz

Martin · 10. Mai 2007 um 13:36

Hallo,

Wie kann ich die Gültigkeit der Gleichung
h(t) = h_0 . e^{k.t}
aus der Annahme, dass die Wachstumsgeschwindigkeit
proportional zur gerade vorliegenden Höhe der Pflanze ist,
herleiten?

Die Wachstumsgeschwindigkeit ist wohl die Ableitung, also
h’(t) = h_0 . e^{k.t} . k

Ja genau. Damit kannst Du jetzt rechnen:

⇒ h’(t) = k h(t)

⇒ h’(t) / h(t) = k

⇒ [ln h(t)]’ = k

⇒ [ln h(t)]’ = (k t)’

⇒ [ln h(t) – k t]’ = 0 Eine Funktion, deren Ableitung = 0 ist, ist eine Konstante

⇒ ln h(t) – k t = C

⇒ ln h(t) = C + k t

⇒ h(t) = e^{C + k t}

⇒ h(t) = e^C e^{k t} h(0) = h₀ = e^C e^{k 0} = e^C · 1 = e^C

⇒ h(t) = h₀ e^{k t}

Fertig.

Mit freundlichem Gruß
Martin

Mone_4a2904 · 10. Mai 2007 um 14:04

Du bist großartig! Jetzt hab ich es auch begriffen!
DANKE!!!

LG,
Mone.

Mone_4a2904 · 10. Mai 2007 um 14:12

Ja genau. Damit kannst Du jetzt rechnen:

⇒ h’(t) = k h(t)

⇒ h’(t) / h(t) = k

⇒ [ln h(t)]’ = k

⇒ [ln h(t)]’ = (k t)’

⇒ [ln h(t) – k t]’ = 0 Eine
Funktion, deren Ableitung = 0 ist, ist eine Konstante

⇒ ln h(t) – k t = C

⇒ ln h(t) = C + k t

⇒ h(t) = e^{C + k t}

⇒ h(t) = e^C e^{k t}
h(0) = h₀ =
e^C e^{k 0} = e^C · 1 =
e^C

⇒ h(t) = h₀ e^{k t}

Ah, das schaut noch viel einfacher aus und ist auch logisch… Danke!
Mone.