Hallo, vieleicht kann ja jemand helfen: es geht um ein Exponentialproblem, die Matrizen sind 3x3, die Vektoren 3er. Folg. Gleichung:
Matrix A * Vektor a = Matrix B * Vektor b; wenn man nun diese GL exponentieren möchte, wie geht das?
Exp[Matrix A]* Vektor a = Exp[Matrix B]* Vektor b, also, dass sich nur die Matrizen exponentieren oder geht es so:
Exp[Martix A * Vektor a] = Exp[Matrix B * Vektor b].
Geht folgendes:
Skalar c * Vektor a = Matrix B * Vektor b , nach exponentieren->
Exp[Skalar]* Vektor = Exp[Matrix] * Vektor oder auch wieder
Exp[Skalar* Vektor] = Exp[Matrix * Vektor]
recht vielen Dank für die Antworten 
Auch hallo.
Das Exponieren einer Matrix darf hier nicht mit der Rechnung e^Zahl verwechselt werden. Das Stichwort heisst Matrixexponentialfunktion: http://www.mathematik.uni-karlsruhe.de/~melcher/dipl…
http://www.mathematik.uni-karlsruhe.de/~melcher/dipl…
Es sei denn, hier was Manöver eine Matrix x-mal mit sich selbst zu multiplizieren gefragt… (x als Exponent)
Oder Transponieren ?
HTH
mfg M.L.
Hallo franzo,
man kann Objekte erst dann exponentieren, wenn man sie überhaupt in
eine Potenz erheben kann. Die Exponentialfunktion wird grundsätzlich über ihre Taylorreihe definiert. Also:
exp X = Summe von k=0 bis unendlich ( X^k / k! )
Dabei ist erstmal egal, was X ist (Zahl, Matrix, Weinflasche etc.)
Man setzt erstmal voraus, daß man X^2, X^3 etc. erklären kann. Das
nächste ist dann, ob diese Summe irgendwie konvergent ist (aber das tut jetzt hier schon gar nicht mehr zur Sache).
Matrix A * Vektor a = Matrix B * Vektor b
Diese Gleichung ist - wenn ich mal von „normalen“ Matrizen+Vektoren
ausgehe - eine Gleichung zwischen Vektoren. A*a ist ein Vektor,
B*b ist ein weiterer Vektor, und die Gleichung besagt, daß diese beiden Vektoren gleich sind. Soweit okay.
Aber diese Gleichung kann man nicht exponentieren, weil es darauf hinausliefe, exp v zu berechnen, die Exponentialfunktion eines Vektors v. Das heißt wiederum, man muß erklären, was v^2, v^3 etc. ist. Und es gibt kein vernünftiges Produkt für Vektoren (das traditionelle Vektorprodukt ist unpraktisch: v^2 = v x v = 0 !).
Man kann eine weitere Gleichung hinschreiben, nämlich Deinen ersten
Vorschlag:
Exp[Matrix A]* Vektor a = Exp[Matrix B]* Vektor b
aber diese Gleichung ist eine andere Aussage als die ursprüngliche.
In den anderen zwei Vorschlägen werden Vektoren exponentiiert, was keinen Sinn ergibt.
Gruß
Stefan
Hi, danke, das werde ich mir erstmal ansehen .
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Hallo Stefan,
danke für deine schöne Erklärung! Aber nochmal konkret:
wenn man hat:
- Matrix A * Vektor a = Matrix B * Vektor a (beachte a, Die Matrizen A und B ist eine Summe von 2 Mat), und will am Ende da stehen haben:
- Exp[A]* Vektor a = Exp[B]* Vektor a
(den diese Form brauche ich am Schluss), dann geht das, oder? Man kann doch sagen: Gl 1) wird von rechts mit dem orthogonalen a (ist nicht der Null-vektor)multipliziert, dann ergibt den Einsvektor, dann A und B exponieren, geht doch oder??
danke & gruSS
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo franzo,
geht alles nicht…sorry.
was ist ein Eins-Vektor? Daß es keinen „Einsvektor“ gibt, ist das Problem.
Hallo Stefan,
danke für deine schöne Erklärung! Aber nochmal konkret:
wenn man hat:
- Matrix A * Vektor a = Matrix B * Vektor a (beachte a,
habe ich gesehen!
Die
Matrizen A und B ist eine Summe von 2 Mat)
verstehe ich nicht.
und will am Ende
da stehen haben:
2) Exp[A]* Vektor a = Exp[B]* Vektor a
(den diese Form brauche ich am Schluss)
Diese Form kriegst Du nur hin, wenn A = B ist. Und A = B kann
z.B. daraus folgen, daß A*a = B*a für alle beliebige Vektoren a gilt.
(Ich weiß aber nicht, ob Dein a oben ein ganz bestimmter Vektor ist)
Stefan
Hallo Stephan,
eigendlich heisst die AusgangsGL(I ist die Einsmatrix, u ist ein skalar, a ist ein Vektor (3er), A,B sind 3x3 Natrizen):
(uI-A)*a=B*a
Ich brauche am Ende die Form:
Exp[uI-A]*a = Exp[B]*a, dann will ich, weil I und A vertauschen, schreiben:
Exp[uI]*Exp[-A]*a = Exp[B]*a, mit Lagrange Interpolationspolynomen die Ersatzmatrizen von A,B berechnen.
Kann man nicht folg. machen: einen passenden (b)Vektor mit a von rechts multipl., so dass b*a=1 wird, dann geht das exponentieren der Martizen… .
gruss und danke
kannst du mir deine emailadresee mitteitteilen?
Hallo franzo,
geht alles nicht…sorry.
was ist ein Eins-Vektor? Daß es keinen „Einsvektor“ gibt, ist
das Problem.Hallo Stefan,
danke für deine schöne Erklärung! Aber nochmal konkret:
wenn man hat:
- Matrix A * Vektor a = Matrix B * Vektor a (beachte a,
habe ich gesehen!
Die
Matrizen A und B ist eine Summe von 2 Mat)verstehe ich nicht.
und will am Ende
da stehen haben:
2) Exp[A]* Vektor a = Exp[B]* Vektor a
(den diese Form brauche ich am Schluss)Diese Form kriegst Du nur hin, wenn A = B ist. Und A = B kann
z.B. daraus folgen, daß A*a = B*a für alle beliebige Vektoren
a gilt.
(Ich weiß aber nicht, ob Dein a oben ein ganz bestimmter
Vektor ist)Stefan
Hallo franzo,
Kann man nicht folg. machen: einen passenden (b)Vektor mit a
von rechts multipl., so dass b*a=1 wird
Was für ein Produkt ist das * ? Skalarprodukt, Vektorprodukt,…?
Und wie genau manipulierst Du die Matrixgleichung, wenn Du diesen Vektor b hast?
Der Teufel steckt im Detail!
Stefan
Hi,
das * ist eine skalare Multiplikation.
ich dachte, entweder die GL durch Vektor u teilen oder ihn mit einem orhtogonalen Vektor b skalar multip. geht dsa?
guten gruss
Hallo franzo,
Kann man nicht folg. machen: einen passenden (b)Vektor mit a
von rechts multipl., so dass b*a=1 wirdWas für ein Produkt ist das * ? Skalarprodukt,
Vektorprodukt,…?Und wie genau manipulierst Du die Matrixgleichung, wenn Du
diesen Vektor b hast?Der Teufel steckt im Detail!
Stefan
Hi,
das * ist eine skalare Multiplikation.
ich dachte, entweder die GL durch Vektor u teilen
Das geht nicht.
Teil mir mal z.B. den Vektor ( 1 2 2 ) durch ( 0 0 3 ). Was kommt
da heraus?
der ihn mit
einem orhtogonalen Vektor b skalar multip. geht dsa?
Das geht, aber führt nicht zum gewünschten Ergebnis. Denn
bei (A*a)*b ist der erste * eine Multiplikation „Matrix mal Vektor“,
die einen Vektor ergibt, der zweite * eine Multiplikation „Vektor mal Vektor“, die eine Zahl ergibt („Skalarprodukt“).
Was nicht geht, ist Umklammern (was Du offenbar vorhast): A*(a*b).
Das ergibt keinen Sinn, da a*b eine Zahl ist, und A folglich mit einer
Zahl multipliziert werden soll, aber(!!!) mit dem Matrix-Vektor-Produkt.
Abgesehen davon, daß das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren Null ergibt (und nicht Eins).
Stefan