das kannst du über die Summenregel und die Quotientenregel ableiten. dann kommt da aber wieder so ein doofer Ausdruck raus
Aber dann kann man ausnutzen, dass die Ableitung =0 gesetzt wird, ein wenig umformen und dann statt sin/cos tan verwenden.
Grüße,
JPL
Dank dir,
aber genau das ist ja das Problem, wozu ich mal die Schritte brauche.
Egal, wie verrückt die Gleichungen aussehen mag, ich muss sie letztendlich iterativ bzw. mit einem Näherungsverfahren lösen.
Nun hat mein TR keine Solve-Funktion, deshalb gebe ich sie in Excel ein.
Nur, wie komme ich auf diese Gleichung?
Ich rechne mich schon dumm und dämlich.
Früher hatte ich das Leiter-Würfel-Problem (Gl. 4. Ordnung) mal so eben lösen können, aber wo ich seit Jahren in Sachen Mathe nichts mehr gemacht habe…
Übrigens habe ich die Diff.- und Teile der Integralrechnung nur aus Büchern.
Klasse 10 Hauptschule, da war Pillow bei mir.
Ich sage gerne auch die komplette Aufgabe:
Ein Balken (nur als Gerade betrachtet), ist aus einem Flur mit 2m Breite in einen Nebengang (Winkel 90°) nur waagerecht zu transportieren.
Wie lang darf er maximal sein?
Die erweiterte Extremaufgabe davon ist die Balkenbreite.
Und die nochmals erweiterte Aufgabe die Raumhöhe.
Da kommt doch Freude auf, wenn auch der Balken noch 'ne Dicke hat (smile).
Aber ich bin sicher, Experten hat dieses Forum ohne Ende. Nur, ob sie dies hier lesen und die Zeit dazu haben…
Das schöne an diesen Aufgaben sind eigentlich die wirklichen, realitätsbezogenen Probleme.
Ich komme mit meinem Selbststudium nicht weiter…
Eine Extremwertaufgabe ergibt bis hier folgende Gleichungen:
Gesamtlänge = Teillänge 1 + Teillänge 2
Gesamtlänge soll maximal werden.
Teillänge 1 = 2/sin x
Teillänge 2 = 3/cos x
Also l(ges) = (2/sin x) + (3/cos x)
Um die Länge zu maximieren setzt du f(x)=(2/sin x)+(3/cos x)
⇒ f’(x)=-(2*cos x/sin2 x)+(3*sin x/cos2 x)
Dann setzt du f’(x)=0.
Das ergibt umgeformt 3sin3x=2cos3x bzw.
tan3x=2/3, also x=arctan(3√(2/3)).
Jetzt musst du noch mit der zweiten Ableitung überprüfen ob das auch wirklich ein Maximum ist.
Grüße !
wo ist das Problem? Du musst doch nur die Ableitungsregeln anwenden.
Vorabüberlegung: Bei gleichen Gangbreiten muss der kritische Winkel (= der, bei dem die Balkenenden gerade die Wände berühren) aus Symmetriegründen 45° = π/4 ≈ 0.785 sein. Da 2 und 3 einigermaßen nah beieinanderliegen, darf man erwarten, dass der kritische Winkel bei den Gangbreiten 2 und 3 nicht allzu stark davon abweicht. Schnellcheck mit Funktionenplotter: 2/sin(x) + 3/cos(x) hat Minimum bei ca. 0.72 → passt.
(Im folgenden s := sin(x), c := cos(x), t := tan(x))
(1/x)’ = –1/x2
s’ = c
c’ = –s
L = 2/s + 3/c ⇒ L’ = –2/s2 c + 3/c2 (–s) = –2 c/s2 + 3 s/c2
L’ = 0 ⇔ 2 c/s2 = 3 s/c2
⇔ s3/c3 = (s/c)3 = t3 = 2/3 =: k
⇔ x = arctan(3√k) ≈ 0.718 ≈ 41.14°
Der kritische Winkel hängt also nur vom Verhältnis k der Gangbreiten ab (hier k = 2/3). Klar, dass das so sein muss.
Für die maximale Balkenlänge ergibt sich ein kurioser Ausdruck:
Lmax = Seitengangbreite · (k2/3 + 1)3/2 ≈ 7.02348 m
M.E. muss eine transzendente Gleichung entstehen, wo aber nun
mein Wissen versagt.
Wie dieses Beispiel zeigt, können sich auch zunächst übel aussehende Gleichungen als einfach lösbar herausstellen.
sieht auch nach einer eleganten Lösung aus, aber nun ergab meine Rechnung zwar auch 41,14° (41,139828)
aber dann die Länge von 7,215639.
Klar ist auch, dass das Verhältnis die Gangbreiten sein müssen, sonst hätte die Aufgabe mit dieser Fragestellung zu keiner Lösung führen können. Übrigens müssen sie dann auch noch 90° zueinender stehen/liegen. (Versteckt in der Aufgabe)
· (k2/3 + 1)3/2
Hängt die Addition von 1 mit deiner/meiner Rechnung zusammen?
Wir sind doch zu dem Schluß gekommen, dass der Winkel 41°8’23" lautet.
Errechne ich nun die Längen einzeln, also die beiden Hypotenusen, so
habe ich l1 = 2/cos 41° und l2 = 3/sin°41
Beide Längen addiert, ergbit 7,21564.
Deshalb verstehe ich zum Schluß auch deine letzte Formel nicht mehr.
Sorry, aber bis da war ich noch mitgekommen.
