Extremwertaufgabe

Wissenschaft Mathematik
1

Halli Ihr Wissenden,

folgende Funktion ist gegeben: f_a(x)= (1/sqr x) + (x/2a)

Aufgabe:
Die Tangente und die Normale im Tiefpunkt T_a jedes Graphen G und die Koordinatenachsen begrenzen ein Rechteck mit dem Flächeninhalt A(a).
Weisen Sie nach, dass kein Wert des Parameters a existiert, für den der Flächeninhalt A(a) ein lokales Minimum annimmt.
Untersuchen Sie, ob ein Wert des Parameters a existiert, für den der Abstand d(a) der Tiefpunkte T_a vom Koordinatenursprung am kleinsten ist. Ermitteln Sie ggf. diesen Wert des Parameters.

Also der Tiefpunkt liegt bei x= 3.Wurzel aus a^2

Mein Ansatz zum Rechteck wäre A= a*b , wobei a die Stelle des TP ist und b der Funktionswert dazu. Wenn ich das alles einsetze, zusammenfasse, ableite und 0 setze komm ich auf keine Lösung.

Danke im Voraus lg seagal

2

Hallo,

Mein Ansatz zum Rechteck wäre A= a*b , wobei a die Stelle des
TP ist und b der Funktionswert dazu. Wenn ich das alles
einsetze, zusammenfasse, ableite und 0 setze komm ich auf
keine Lösung.

na dann bist Du doch fertig. Du sollst ja nachweisen, dass es keinen Extremwert gibt! Wenn also der Versuch, einen solchen zu berechnen, scheitert, hast Du die Aufgabe somit gelöst.

Olaf

3

Hallo,
Danke für die Antwort

Hast du auch ne Idee zum 2. Teil der Aufgabe.
Kann man das irgendwie mit dem Satz des Pythagoras machen.
Ich meine jetzt die Verbindung vom Ursprung zum TP wäre doch die Hypothenuse und die katheten wären ja x und y-Wert des TP

lg seagal

4

moin;

Ich meine jetzt die Verbindung vom Ursprung zum TP wäre doch die Hypothenuse und die katheten wären ja x und y-Wert des TP

Genau, so kannst du dir den (euklidischen) Abstand berechnen/herleiten.

mfG

5

Hallo,

Danke für die Antwort
Ich hab mal noch ne Frage:
Wie kann ich nachweisen, dass das Volumen des Rotattionskörpers um die x-Achse nicht endlich ist.
Also wenn ich jetzt die Stammfunktion bilde mit den Intervallgrenzen 0 und 1 komm ich auf keine Lösung und der Grenzwert für x gegen 0 geht ja gegen +unendlich. Muss ich dann als Intervallgrenze +unendlich und 1 nehmen?

lg seagal

6

moin;

deine Funktion hat eine nette Eigenschaft: Sie ist im reellen für xV=\pi\int_0^{\infty}f^2(x)dx

f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{x}{2a}
f^2(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{x}+\frac{x^2}{4a^2}

Die Stammfunktion hierzu lautet also

\frac{x^3}{12a^2}+\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+\ln{x}

Egal welcher Wert für a hier eingesetzt wird, der Term konvergiert für die obere Grenze gegen unendlich, für die untere Grenze gegen -unendlich, demzufolge ist das Volumen des Rotationskörpers

V=pi*(unendlich-(-unendlich))=unendlich+unendlich=unendlich.

mfG

7

moin;

ups, da habe ich doch glatt beim f^2(x) und bei der Stammfunktion jeweils beim 2. Summanden ein /a vergessen :wink:
Bitte dazudenken, mag den Artikel deswegen nicht neu schreiben, das Ergebnis bleibt ja dasselbe.

mfG

8

Hallo,

Danke für die Ausführungen aber eine Frage hätte ich noch.

Warum geht die untere Intervallgrenze(0) gegen -unendlich. Das habe ich leider nicht verstanden?

lg seagal

9

moin;

nunja… die beiden ersten Summanden gehen gegen 0, der letzte (natürliche Logarithmus von 0) gegen -unendlich.
Läuft also die gesamte Summe gegen 0+0-unendlich=-unendlich :wink:

mfG

10

Hallo,

hast natürlich vollkommen recht, stand irgendwie auf dem Schlauch.

Danke schön
lg seagal