Extremwertaufgabe

Wissenschaft Mathematik
#1

Hey Leute :smile:
Ich habe mal eine Frage zu folgender Extremwertaufgabe:
Aus einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge „c“ soll ein Rechteck mit dem größtmöglichsten Flächeninhalt ausgeschnitten werden.

Bezeichnung:
Seitenlänge des Dreiecks = c
Vertikale Seite des Rechtecks = a
Horizontale Seite des Rechtecks = b
Höhe des Dreiecks = h

h_2=h-a

Also:
Die Hauptbedingung ist ja

A=a\cdot b

Jetzt will ich die Nebenbedingung erstellen und auf b auflösen. Das habe ich folgendermaßen gemacht:
Pythagoras:

(h_2)^2=b^2-(\frac b2)^2

4\cdot(h_2)^2=4 \cdot b^2 -b^2

Jetzt zusammenfassen und /:3

b^2=\frac 43 \cdot (h_2)^2

Jetzt radizieren und für h_2=h-a einsetzen

b=\sqrt \frac 43 \cdot (h-a)

klammer ausmultiplizieren

b=\sqrt \frac 43 \cdot h - \sqrt \frac 43 \cdot a

Das jetzt in die Hauptbedingung einsetzten

A=a \cdot (\sqrt \frac 43 \cdot h - \sqrt \frac 43 \cdot a)

Klammer ausmultiplizieren

A= \sqrt \frac 43 \cdot h \cdot a - \sqrt \frac 43 \cdot a^2

h=\sqrt {c^2-(\frac {c^2}{2})} „elegant“:smile: umformen auf:

h=\frac 12 \cdot c \cdot \sqrt 3

Das jetzt in die Hauptbedingung einsetzen:

A=\sqrt \frac 43 \cdot \frac 12 \cdot c \cdot \sqrt 3 \cdot a - \sqrt \frac 43 \cdot a^2

Das jetzt vereinfachen:

A=c \cdot a - \sqrt \frac 43 \cdot a^2

Nun die 1. Ableitung anwenden, um den Extremwert zu bekommen:

A’(a)=c-\sqrt \frac 43 \cdot a

Und jetzt die 1. Ableitung 0 setzen

0=c-\sqrt \frac 43 \cdot a

und auf a umformen

c=\sqrt \frac 43 \cdot a

a= \frac {c} {\sqrt \frac 43}

So…das Problem ist jetzt, dass den Lösungen zufolge
a= \frac {c} {\sqrt \frac 43}
nicht richtig ist sondern die Lösungen folgende sind:

a=\frac 12 \cdot c / b=\frac {\sqrt 3}{4} \cdot c

Ich habe diese Aufgabe auch schon mit Strahlensätzen gelöst, doch ich habe es zuerst mit dieser Methode versucht.
Meine Frage ist nun:
Wieso komme ich hiermit nicht auf die richtige Lösung?
Habe ich i-wo einen Denk- bzw. Rechenfehler gemacht?
Oder geht das nur mit Strahlensätzen?

LG TS

#2

Hallo,

h2^2 = b^2 - (b/2)^2
ist zwar richtig, aber wie bist du darauf gekommen, dass die Hypotenuse = b ist?

Bei der 1. Ableitung hast du den Faktor 2 vergessen:
A´(a) = c - 2 * (4/3)^(1/2) * a^2

Gruß Pontius

#3

Guten Abend Pontius und danke für die Antwort :smile:

h2^2 = b^2 - (b/2)^2
ist zwar richtig, aber wie bist du darauf gekommen, dass die
Hypotenuse = b ist?

Es handelt sich hierbei ja um ein gleichseitiges Dreieck. Wenn man nun die Horizontale „b“ in das Dreieck einzeichnet, entsteht ein neues kleines aber auch gleichseitiges Dreieck, da die 60° des ganzen Dreiecks ein Stufenwinkel im neuen, kleinen Dreieck ist.

Bei der 1. Ableitung hast du den Faktor 2 vergessen:
A´(a) = c - 2 * (4/3)^(1/2) * a^2

Dann wär das ^2 beim a dann zu viel oder nicht?
das wäre dann ja:

A’(a)=c-2 \cdot \sqrt {\frac 43} \cdot a

Doch dann wäre es auch

a= \frac {c} {2 \cdot \sqrt \frac 43}

Doch das ist auch nicht die Lösung.

LG TS

#4

h2^2 = b^2 - (b/2)^2
ist zwar richtig, aber wie bist du darauf gekommen, dass die
Hypotenuse = b ist?

Es handelt sich hierbei ja um ein gleichseitiges Dreieck. Wenn
man nun die Horizontale „b“ in das Dreieck einzeichnet,
entsteht ein neues kleines aber auch gleichseitiges Dreieck,
da die 60° des ganzen Dreiecks ein Stufenwinkel im neuen,
kleinen Dreieck ist.

Danke für die Erklärung.

Bei der 1. Ableitung hast du den Faktor 2 vergessen:
A´(a) = c - 2 * (4/3)^(1/2) * a^2

Dann wär das ^2 beim a dann zu viel oder nicht?

Entschuldigung, du hast Recht, da habe ich mich vertippt.

0 = c - 2 * (Wurzel(4/3)) * a

a = c /( 2 * (Wurzel(4/3))

a = c / 2 * 2 /(Wurzel 3) = c / 4 /(Wurzel 3)

a = c/1 / 4/(Wurzel3) = ((Wurzel 3)/4) * c

Bruch durch Bruch dividieren, …mit dem Kehrwert multiplizieren.

Stimmt also.

#5

0 = c - 2 * (Wurzel(4/3)) * a

a = c /( 2 * (Wurzel(4/3))

a = c / 2 * 2 /(Wurzel 3) = c / 4 /(Wurzel 3)

a = c/1 / 4/(Wurzel3) = ((Wurzel 3)/4) * c

Bruch durch Bruch dividieren, …mit dem Kehrwert
multiplizieren.

Stimmt also.

Was stimmt also?

Das Ergebnis ist doch

a=\frac {\sqrt 3} {4} \cdot c

Aber das ist ja nicht die Lösung oder wie meinst Du das?

#6

a = c/1 / 4/(Wurzel3) = ((Wurzel 3)/4) * c

Bruch durch Bruch dividieren, …mit dem Kehrwert
multiplizieren.

Stimmt also.

Was stimmt also?

Das Ergebnis ist doch

a=\frac {\sqrt 3} {4} \cdot c

Aber das ist ja nicht die Lösung oder wie meinst Du das?

Verstehe ich nicht. Du hattest doch in deinem Ursprungsposting selbst geschrieben, dass das die Lösung für „a“ sein soll.
Und wenn du „a“ hast, kannst du auch „b“ und den Flächeninhalt ausrechnen.

#7

Nachtrag
Ich hatte durch deine etwas missverständliche Schreibweise übersehen, dass das wohl die richtige Lösung für „b“ sein soll.
Aber, ob a = 0,5 * c ist und b = (3^(1/2)/4) * c oder umgekehrt, ändert nichts am Flächeninhalt des Rechtecks.
Es gibt also offensichtlich 2 Rechtecke mit gleichem max. möglichen Flächeninhalt.

#8

Aber, ob a = 0,5 * c ist und b = (3^(1/2)/4) * c oder
umgekehrt, ändert nichts am Flächeninhalt des Rechtecks.
Es gibt also offensichtlich 2 Rechtecke mit gleichem max.
möglichen Flächeninhalt.

Ahh… ok vielen Dank :smile:
Daran hätte ich jetzt nicht gedacht :smile:
LG TS