Diese Aufgabe ist mir schon mehrmals in verschiedenen Varianten begegnet, als Beispiel für Extremwertaufgaben in Mathematik, für Extremalprinzipien in theoretische Physik und auch in einigen einschlägigen Lehrbüchern habe ich sie gefunden, leider fehlt mir die Zeit für Recherchen nach Quellenangaben.
Daher habe ich auch keine Probleme damit, herauszufinden was eigentlich gesucht und was gegeben ist. Möglicherweise ist die Beschreibung der Aufgabenstellung nicht besonders gut, wenn man aber im Lösungsansatz nach x differenziert und die Ableitung Null setzt, sollte eigentlich klar sein, daß x gesucht ist.
Etwas genauer formuliere ich das Problem mal so (ohne Anspruch, mich damit nun in jeder Hinsicht absolut eindeutig und mathematisch einwandfrei ausgedrückt zu haben):
Gegeben sei ein kartesisches Koordinatensystem in einer Ebene, die durch dessen x-Achse in zwei Halbebenen geteilt wird. In der oberen Halbebene kann sich ein Objekt geradlinig mit der konstanten Geschwindigkeit v1 bewegen, in der unteren entsprechernd mit v2 . Gegeben seien ferner die Punkte P(x1 ; y1) in der oberen und Q(x2 ; y2) in der unteren Halbebene. Gesucht ist der Punkt X( x ; 0 ) auf der x-Achse, derart, daß die Zeit für das Durchlaufen des Weges von P über X nach Q ein Minimum ist (also schlicht und einfach x )
Der von Dir gewählte Ansatz ( s über Pythagoras t = s/v , T = t1 + t2 soll Minimum werden, also dT/dx ‗!‗ 0 ) ist im Prinzip richtig.
Das Ding lässt sich aber nicht so einfach nach x umstellen…
Freilich ist das Umstellen dieses Ausdrucks nach x recht langweilig und mühevoll (und sehr wahrscheinlich schleichen sich dabei noch Fehler ein) aber doch mit elementaren Mitteln (Separieren, Quadrieren, Ausmultiplizieren, Ordnen,Zusammenfassen) zu bewerkstelligen. Etwas reduzieren läßt sich der Umfang dieser Arbeit indem man P auf die y-Achse legt (x1 = 0) und die Längeneinheit so normiert, daß x2 = 1 wird. Trotzdem bleibt immer noch eine algebraische Gleichung 4. Grades übrig. Mit ihr kannst Du zwar den Zahlenwert von x mit beliebiger Genauigkeit „ausrechnen“ (und somit die Aufgabe prinzipiell lösen), allgemeine Aussagen liefert der Ausdruck aber nicht.
Hat also jemand eine andere Idee?
Diese erhält man dagegen (und so wurde es bei dieser Aufgabe in den mir erinnerlichen Fällen immer gemacht) wenn man statt der Wurzeln
s = √‾x² + y² einfach wieder s schreibt und sin α = | x - x1 |: s1 sowie
sin β = | x - x2 |: s2 einführt. Dann erhält man nach einigen Umformungen
(sin α) : (sin β) = v1 : v2 . Das ist aber das von der geometrischen Optik her bekannte Brechungsgesetz von SNELLIUS.
Es liefert allgemeine Einsichten über den Wegverlauf (hier Lichtstrahl) eines
Objekts (hier ein Photon), zum Berechnen des Zahlenwertes von x (die eigentliche Aufgabenstellung) bringt es leider keine Vorteile. Nach mühevollen, wenn auch elementaren Umformungen und Substitutionen kommt man wieder auf eine Gleichung vierten Grades, die Schwierigkeit läßt sich eben nicht „wegtransformieren“.
Man nennt sowas auch den Satz von der Erhaltung der „Schweinerei“. 
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Ich hoffe, trotz der Länge des Artikels nicht gelangweilt sondern einiges zur Klarstellung beigetragen zu haben. Falls Nebenrechnungen oder Zwischenergebnisse gebraucht werden stehe ich für Rückfragen gern zur Verfügung. Freundliche Grüße von Cumulus