Extremwertaufgabe

Gregor_593518 · 11. Oktober 2004 um 20:19

HI!
i bräuchte wieder mal eure hilfe!!!
ich versuch mal ne skizze zu machen:

I I
I\ I
I \ I
I \ I
I \ I
I \I___________
I \
I \
I \
I___________________

Es ist so zirka das was ich will.
Also:
Um diese ecke will ich ein holzbrett tragen!um es einfacher zu machen nehmen wir mal an, dass das holzbrett eine stärke von 0 hat und es weder aufgestellt wird noch sich biegen lässt!
Wenn nun der „Gang“ der nach oben zeigt 1,5m breit ist und der „Gang“ der nach rechts zeigt 2m breit ist, wie lange kann das brett dann maximal sein??

mein lösungsvorschlag wäre:
eine hauptbedingung: ich „zerlege“ das brett in 2 teile, wobei die Ecke auf der das Brett anstößt der Trennpunkt ist! Einen teil nenn ich x und den anderen y!
Dann wäre die Hauptbedingung: länge=x+y…–>maximum

die nebenbedienung ist dann mit winkeln zu lösen oder???
x/sin90°=1,5/sinß

und

y/sin90°=2/sin(180-ß)

wenn ich x und y nun in die hauptbedinung einsetze, die erste ableitung bilde und das ganze dann null setze bekomme ich für ß einen wert denn ich in die beiden nebenbedingungen einsetze und dann in die hauptbedingung.und schon hab ich die länge!
Ist das soweit richtig???
ich hoffe!
aber mein problem ist beim ableiten und beim nullsetzen der für mich eher komplizierten gleichung!

Könnt ihr mir dabei helfen???
Sorry für den langen beitrag!
lg gregor

michael_f7f5bc · 11. Oktober 2004 um 22:21

hi,
zunächst: mach die „skizzen“ zwischen tags

und

, dann kommen sie deutlich besser.

> I I  
> I\ I  
> I \ I  
> I \ I  
> I \ I  
> I \I\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_  
> I \  
> I \  
> I \  
> I\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Um diese ecke will ich ein holzbrett tragen!um es einfacher zu
machen nehmen wir mal an, dass das holzbrett eine stärke von 0
hat und es weder aufgestellt wird noch sich biegen lässt!
Wenn nun der „Gang“ der nach oben zeigt 1,5m breit ist und der
„Gang“ der nach rechts zeigt 2m breit ist, wie lange kann das
brett dann maximal sein??

mein lösungsvorschlag wäre:
eine hauptbedingung: ich „zerlege“ das brett in 2 teile, wobei
die Ecke auf der das Brett anstößt der Trennpunkt ist! Einen
teil nenn ich x und den anderen y!
Dann wäre die Hauptbedingung: länge=x+y…–>maximum

an sich guter ansatz, aber es geht um ein minimum. du fragst dich nämlich, wie groß diese gesuchte länge minimal ist, damit du ein brett so hinüber tragen kannst. nachdem die beiden gänge ja „unendlich“ lang sind, ist diese läge parallel zu den gängen maximal, um die ecke herum ist sie minmal.

die nebenbedienung ist dann mit winkeln zu lösen oder???
x/sin90°=1,5/sinß

d.h.: x = 1,5 / sin(Beta)
wenn Beta der winkel zwischen stange und außenkante des schmaleren gangs ist.
du brauchst da keinen sinussatz; es reichen die winkelfunktionen im rechtwinkligen dreieck. (sin = gegenkath./hypotenuse, cos = ankath./hyp., tan = gegenkath./ankath.)

und

y/sin90°=2/sin(180-ß)

das nun hab ich anders:
2 / y = sin(90-Beta) = cos(Beta)

damit hast du:
L = x + y = a/sin(Beta) + b/cos(Beta)

das ableiten nach Beta und gleich 0 setzen liefert dir dann den winkel Beta, an dem die minimale länge erreicht wird., da ergebn sich dann a und b daraus (s.o.)

hth
michael

michael_f7f5bc · 11. Oktober 2004 um 22:27

sorry, das kommt davon, wenn man besonders klug sein will: man erläutert die tags und setzt sie dabei ins pitze klammern, sodass wirken, aber nicht sichtbar werden.
also, für bildchen, pre-tag zum öffnen und /pre-tag zum schließen.

Gregor_593518 · 12. Oktober 2004 um 19:20

hi!
soweit mal danke michael, aber jetzt kommt ja erst mein größtes problem:
ableitung + ableitung null setzen!vor allem dann das nullsetzen!
kannst du mir bzw. könnt ihr mir dabei auch helfen???
danke im voraus!
-Gregor

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michael_f7f5bc · 12. Oktober 2004 um 22:13

hi!

wir hatten zuletzt:

L = x + y = a/sin(Beta) + b/cos(Beta)

die variable ist Beta.

a/sin(Beta) = a * 1/sin(beta) = a * sin(Beta)^(-1)

wenn du das ableitest, bleibt dir das a multiplikativ erhalten, das 1/sin(Beta) ist eine verkettung von 2 funktionen, du brauchst also die kettenregel.

(wenn du mit verkettung probleme hast: denk an das eintippen am taschenrechner:
du tippst Beta ein … du nimmst davon den sin (1. oder „innere“ funktion)
und davon dann nimmst du den kehrwert (2. oder „äußere“ funktion)

du musst also zuerst den kehrwert ableiten und dann mit der ableitung des sin multiplizieren.

analog gehts im zweiten term beim cos.

kehrwert ableiten geht nach standard-regel für potenzen …

probierst du’s?

dann zusammenzählen, minimum bei L’ = 0

dann kannst du den winkel Beta berechnen, an dem dieses minimum angenommen wird, daraus x und y und also Lmin.

hth
m.

Gregor_593518 · 13. Oktober 2004 um 13:56

hi!
ich hab das ableiten jetzt mal probiert,weiß aber nicht ob das richtig ist!
L’=a*cos(Beta)/sin(Beta)^2+b*sin(Beta)/cos(Beta)^2

wenn ich das ganze dann null setze:

0=a*cos(Beta)^3+b*sin(Beta)^3

stimmt das soweit??
und schon taucht die nächste frage auf:
wie löse ich cos(Beta)^3 bzw. sin(Beta)^3 auf??

lg Gregor

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

michael_f7f5bc · 13. Oktober 2004 um 15:41

hi,
wir kommen der sache immer näher.

hi!
ich hab das ableiten jetzt mal probiert,weiß aber nicht ob das
richtig ist!
L’=a*cos(Beta)/sin(Beta)^2+b*sin(Beta)/cos(Beta)^2

bravo … fast. die innere ableitung im zweiten term ist der negative cos. da kommt noch ein minus hinein. okay?

gut find ich auch, dass du von den konkreten zahlen 1,5 und 2 auf allgemeine a und b gewechselt bist.

wenn ich das ganze dann null setze:

0=a*cos(Beta)^3+b*sin(Beta)^3

stimmt das soweit??

bis auf das vorzeichen ja.

und schon taucht die nächste frage auf:
wie löse ich cos(Beta)^3 bzw. sin(Beta)^3 auf??

zunächst einmal trennen in

a*cos(Beta)^3 = b*sin(Beta)^3

und dann am besten alle konstanten nach links, alle winkelfunktionen nach rechts:

a/b = sin(Beta)^3/cos(Beta)^3

sin(Beta)/cos(Beta) = tan(Beta)

rest schaffst du ganz sicher alleine.

ich hoff, du findest es nicht zu lästig, da in schritten zu arbeiten, aber

vorrechnen ist nicht erlaubt (netiquette)
und
nützt es dir mittelfristig auch nichts.

okay?
michael

Gregor_593518 · 13. Oktober 2004 um 19:43

hi,
wir kommen der sache immer näher.

hi!
ich hab das ableiten jetzt mal probiert,weiß aber nicht ob das
richtig ist!
L’=a*cos(Beta)/sin(Beta)^2+b*sin(Beta)/cos(Beta)^2

bravo … fast. die innere ableitung im zweiten term ist der
negative cos. da kommt noch ein minus hinein. okay?

gut find ich auch, dass du von den konkreten zahlen 1,5 und 2
auf allgemeine a und b gewechselt bist.

wenn ich das ganze dann null setze:

0=a*cos(Beta)^3+b*sin(Beta)^3

stimmt das soweit??

bis auf das vorzeichen ja.

und schon taucht die nächste frage auf:
wie löse ich cos(Beta)^3 bzw. sin(Beta)^3 auf??

zunächst einmal trennen in

a*cos(Beta)^3 = b*sin(Beta)^3

und dann am besten alle konstanten nach links, alle
winkelfunktionen nach rechts:

a/b = sin(Beta)^3/cos(Beta)^3

sin(Beta)/cos(Beta) = tan(Beta)

rest schaffst du ganz sicher alleine.

ich hoff, du findest es nicht zu lästig, da in schritten zu
arbeiten, aber

vorrechnen ist nicht erlaubt (netiquette)
und

nützt es dir mittelfristig auch nichts.

okay?
michael

Danke michael
das passt schon so schrittweise, dann kann ich es beim nächsten mal wenigstens ein bisschen besser!
momentan glaub ich dass ich mich auskenne, wenn nicht meld ich mich noch mal!
Danke!
lg gregor