Hallo, ich habe hier anscheinend eine Extremwertaufgabe vor mir liegen:
"Bei einem Wettbewerb möchte man möglichst schnell von einem Punkt A am Ufer eines 100m breiten Kanals zu einem Punkt B an dem anderen Ufer des Kanals kommen, wobei B 1km von dem Punkt A’ am Ufer des Kanals entfern ist, der A gegenüberliegt. Welchen Weg sollte man bei den Geschwindigkeiten
im Wasser: w = 3km/h
am Land: L=15km/h
wählen?
So, ich habe mir da mal eine Skizze gemacht, die ich mal beschreibe:
Der Kanal ist 100m breit, das heisst dem Punkt A gegenüber liegt der Punkt A’, die 100m auseinander sind (senkrecht). Vom Punkt A’ sind es 1 km zum Ziel.
Nun bin ich ja am Anfang bei Punkt A - ich kann zu Punkt A’ schwimmen und von dort aus laufen, oder ich schwimme direkt zu B. Oder schwimme in die Mitte vom Punkt A’ und B und laufe den Rest, oder…
Da die Frage hier nach dem schnellsten Weg (Wettbewerb) ist, muss das ganze auch etwas mit Ableiten zu tun haben.
So, nun zeigt meine Skizze, dass ich schräg von Punkt A in Richtung Ufer schwimme. Den Punkt nenne ich U. Ich habe also ein rechtwinkliges Dreieck, bestehend aus der Strecke, die ich schimme (Schräge/Hypothenuse) - genannt x, die 100m als Kathete und den Weg, den man am Ufer der anderen Seite nicht mehr laufen muss. Den ich mit y bezeichnet habe. Den Punkt möchte ich ja auch herausbekommen. Wo muss man am anderen Ufer landen, um schnell zu B zu kommen.
Damit ergibt sich die Rechnung
x*wassergeschwindigkeit+(1km-y km) * landgeschwindigkeit
x ist ja die Hypothenuse in meinem rechtwinkligen Dreieck, Pythagoras: x^2 = 100m+y^2
x^2 = 0.1km+y^2
Die 1km - ykm sind der Weg vom Punkt U bis B.
Damit komme ich auf die Funktion
x=wurzel(0.1^2+y^2)
wurzel(0.1^2+y^2)*3+ (1km-y)*15
die Ableitung davon ist -[y]/[0.1^2+y^2]^(0.5)-15y
Wenn ich das gleich Null setze, komme ich auf die verrückte Lösung, man sollte vom Punkt A zum Punkt A’ schwimmen (weil y=0) und den Rest dann laufen.
Ist das so richtig?
Gruß,
McMike