Mit dem Querschnitt A = 10m², eines trapezförmigen Kanals, dessen Seiten mit c (Basis), b (beide Seitenteile), x (beide Überstände) und Winkel a = 75° (Auslage der Seitenteile), soll der Umfang möglichst klein sein. Es sind die zugehörigen Längen der Seiten c, b sowie h zu berechnen.
Die Lösungen sind ja schon vorgegeben: c = 3,615; b = 2,438; h = 2,355
Nun tue ich mich aber unheimlich schwer, die Lösungsschritte aufzustellen.
Kann mir da jemand behilflich sein?
Mein Ansatz:
HB: U = 2c + 2b + 2x
NB: A = [(2c + 2x)/2]*h = ch+2xh = 10m²
Nun weiß ich da nicht nach welcher Variable die Funktion abzuleiten ist, mir ist ja kein anderer Wert bekannt außer der Winkel a = 75°! Oder gilt es in der Hauptbedingung, die Variablen b und x durch Winkelverhältnis mit h auszudrücken,zB: x = h*tan(a)
Wäre sehr dankbar für eine etwas aufschlussreichere Erklärung, da ich mich im Allgemeinen bei diesen Extremwertaufgaben schwer tue.
Vielen Dank, Karl
Mit Hilfe des Winkels kann man im rechtwinkligen Dreieck x h b und den drei trigonometrischen Funktionen weitere Nebenbedingungen(6 verschiedene) aufstellen.
Außerdem kann man den Satz des Pythagoras aufstellen.
Mit so vielen Nebenbedingungen(1Pythogoras 6Trigonometrie 1Flächeninhalt) kann man dann so viele Variablen eliminieren bis nur noch eine einzige übrig ist, das ist dann deine Zielfunktion.
Hallo Karl!
Oder gilt es in der Hauptbedingung, die
Variablen b und x durch Winkelverhältnis mit h
auszudrücken,zB: x = h*tan(a)
Das ist doch schon mal ein guter Ansatz. Aber wenn Du den schon hast, warum probierst Du dann nicht erst einmal aus, ob Du auf das richtige Ergebnis kommst, und schreibst uns dann, falls Du an irgendeiner Stelle nicht weiter weißt?
Des weiteren ist eine Skizze von einem geometrischen Problem immer hilfreich. Ich habe das jetzt so verstanden (stimmt das?):
\--- x ---|---------- c -----------|--- x ---/
\α) | | (α/
\ | | /
\ | | /
\ | | /
b h h b α=75°
\ | | /
\ | | /
\ | | /
\|\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_|/
c
Liebe Grüße
Immo