Hallo,
es soll ein Rechteck mit maximaler Fläche in einer vorgegebenen Ellipse eingeschrieben werden.
Die Ellipsengleichung = x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
Laut meinem Lehrheft soll die Fläche des Rechteckes mit: A = 2x * 2y
berechnet werden.
Frage: warum mit 2 mal x und 2 mal y und warum nicht mit
x * y oder mit a * b?
vielen Dank,
Karl
Moin,
Frage: warum mit 2 mal x und 2 mal y und warum nicht mit
x * y oder mit a * b?
die Fläche eines Rechtecks ist Länge mal Breite.
Ob da nun x,y,a,b oder sonstwas für Buchstaben in der Formel auftauchen, hängt halt davon ab, was diese Buchstaben im konkreten Fall bedeuten sollen.
Die Ellipsengleichung = x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
Hier haben diese 4 Buchstaben nur was mit der Ellipse zu tun, vom Rechteck ist noch gar nicht die Rede.
Der Mittelpunkt der Ellipse liegt im Koordinatenursprung. Und wenn Du da jetzt ein Rechteck reinzeichnest (symmetrisch), dann siehts Du, dass die Länge des Rechtecks 2x und die Breite 2y ist. OK?
Gruss
Olaf
Hallo Karlgam,
Wenn du noch den Extremwert konkret berechnen musst, brauchst du noch eine Funktion die z.B. die Fläche in Abhängigkeit zum x-Wert ausdrückt.
\begin{eqnarray}
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}= & 1 \Leftrightarrow & \
y^{2}= &b^{2}-\frac{x^{2}\cdot b^{2}}{a^{2}} \Leftrightarrow & \
\vert y \vert = & \sqrt{b^{2}-\frac{x^{2}\cdot b^{2}}{a^{2}}} &
\end{eqnarray}
„Funktion“ der Elipse:
Bei der Beschreibung der Elipse mit (1) handelt es sich um eine implizite Funktion, die Gleichung (3) ist der Versuch die Elipsenfunktion explizit zu machen, was dabei rauskommt ist eine Relation, die eine Elipse um den Ursprung beschreibt.
Pro x gibt es 2 verschieden fx, nämlich y und -y.
„Funktion“ von der Recktecksfläche:
Alle 4 Ecken liegen auf der Elipse sind also Lösungen der Relation (3).
x-Länge: 2*/x/ da die Elipsenrelation an der y- Achse gespiegelt ist.
y-Länge: 2*/y/ da die Elipsenrelation an der x- Achse gespiegelt ist.
\begin{eqnarray}
A= & 2\cdot x \cdot 2 \cdot \vert y \vert \Leftrightarrow & \nonumber \
A= & 4\cdot x \cdot \sqrt{b^{2}-\frac{x^{2}\cdot b^{2}}{a^{2}}} \Leftrightarrow & \nonumber
\end{eqnarray}
Die letzte Gleichung beschreibt die Fläche in Abhängikeit zur x-Achse. Von dieser Funktion kann man nun den Maximalwert bestimmen.
mfG
Jotaro
Alles klar!
vielen Dank