Extremwertaufgaben - möglichst größer Rauminhalt -

Wissenschaft Mathematik
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Hallo!
Wir haben gerade in der Schule mit Extremwertaufgaben angefangen und ich habe gerade eine Aufgabe, welche ich nicht so ganz verstehe und ich nicht weiß, wie ich sie angehen soll.

„Aus einer quadratischen Platte mit einer Seitenlänge von 60cm soll durch geeignetes Abschneiden an den Ecken eine durch biegen nach oben offene Schachtel mit möglichst großem Rauminhalt hergestellt werden.
Berechnen Sie, welche Abmessungen der Ausschnitt an den Ecken haben muss“

Ich frage mich, wie man dauf das größtmögliche Volumen per Rechnung kommt.
Also ich habe mir gedacht, dass der Ausschnitt 20cm sein könnte (sodass ein Würfel entsteht - größt möglicher Rauminhalt?)
Aber ich bin mir nicht sicher und weiß nicht, wie ich die Sache rechnerisch angehen soll.

Könntet ihr mir vielleicht helfen?

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Bitte formulier eine konkrete Frage und poste auch deine bisherigen Lösungsansätze.

An welcher Stelle hast du Probleme zur Lösung zu finden? Was genau verstehst du denn bei der Aufgabe nicht?

Wie kommst du auf deine 20 cm?

Bisher machst es nicht den Eindruck als würdest du in irgend einer weise Ahnung von Extremwertrechnungen haben? Hast du in der Schule das Thema bisher komplett verschlafen? Ich denke ja mal nicht das euer Lehrer euch aus dem Stehgreif solch eine Aufgabe stellt?

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Hallo,

wenn die Ecken ausgeschnitten und nach oben geklappt werden, entsteht ein oben offener Kasten - also ein Quader. Dessen Volumen berechnet sich allgemein mit

V = a*b*c

Nun müssen wir uns überlegen, wie groß die Kantenlängen dieses Quaders sind. Die heraus geschnittenen Ecken haben eine unbekannte Länge - wir bezeichnen sie mit x. Da an jeder Ecke etwas weggeschnitten wird, bleibt für die Kantenlängen des Quaders jeweils nur noch 60cm-2x übrig. Die Höhe des Quaders beträgt x, da die Seiten ja nach oben geklappt werden. Nun ergibt sich daraus für unsere Schachtel:

V = (60cm-2x)*(60cm-2x)*x

Auflösen der Klammern - ich lasse der Einfachheit halber ab jetzt die cm weg, die müssen aber eigentlich dabei sein:

V = (3600-120x-120x+4x²)*x
V = (3600-240x+4x²)*x
V = 3600x-240x²+4x³

Nun ist gefragt, für welches x das Volumen maximal wird - dies ist dann der Fall, wenn die erste Ableitung von V gleich Null ist. Deshalb bilden wir zunächst die erste Ableitung:

V´= 3600-480x+12x²

Sortieren - Werte in Reihenfolge bringen:

V´= 12x²-480x+3600

Diese Ableitung wird nun gleich Null gesetzt:

0 = 12x²-480x+3600

Durch 12 dividieren:

0 = x²-40x+300

Nach x auflösen - x1/2 kann ich hier leider nur so schreiben, die Zahlen 1 und zwei sind eigentlich kleine Indizes am Fuße des x. Die Zeichen + und - werden eigentlich untereinander geschrieben - hier nur möglich als +/-:

x1/2 = 20 +/- Wurzel aus(20²-300)
x1/2 = 20 +/- Wurzel aus(400-300)
x1/2 = 20 +/- Wurzel aus 100

x1 = 20 + 10 x2 = 20 - 10
x1 = 30 x2 = 10

Die Lösung x1 kommt nicht in Frage, denn würde man auf beiden Seiten eine Ecke der Länge 30cm abschneiden, so würde von der Kantenlänge 60cm nichts mehr übrig bleiben. Somit ist x2 die gesuchte Lösung.

Das heißt also, wenn man von einer quadratischen Platte Ecken abschneidet mit einer Kantenlänge von x=10cm und diese Seiten dann nach oben klappt, so erhält man eine Schachtel mit dem größt möglichen Rauminhalt.

Wenn man möchte, kann man diesen nun auch noch berechnen:

V = (60-2x)*(60-2x)*x
V = (60-20)*(60-20)*10
V = 40*40*10
V = 16000 cm³

Ich hoffe, Dir mit dieser Lösung geholfen zu haben. Viel Spass noch mit der Mathematik wünscht Kerstin Müller

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„Aus einer quadratischen Platte mit einer Seitenlänge von 60cm:soll durch geeignetes Abschneiden an den Ecken eine durch :biegen nach oben offene Schachtel mit möglichst großem:Rauminhalt hergestellt werden.
Berechnen Sie, welche Abmessungen der Ausschnitt an den Ecken:haben muss“

Nehmen wir mal an, die Ecke, die herausgeschnitten wird, wäre quadratisch mit der Seitenlänge x. Dann hat die nach oben offene Schachtel die Höhe x. Für den Boden bleibt das die Seitenlänge s = 60 - 2x über.
Dann hat die Schachtel das Volumen V = Grundseite mal Höhe = (60-2x)²*x (oder (60-2x)^2 *x)= (3600-240x+4x²)*x Das ist etwas schwierig zu schreiben mit dem hoch zwei für Quadrat und dem Sternchen für „mal“. Im zweiten Schritt wurde die binomische Formel angewendet. Ausmultiplizieren ergibt
V = 4x³-240x²+3600x.
Das kann man sich als Graph im Koordinatensystem aufzeichnen. Da, wo die Kurve ein Maximum hat, ist die Steigung Null. Und die Steigung wird angegeben durch die erste Ableitung V’(x)= 12x²-480x+3600. Und diese Ableitung wird Null V’(x) = 0 für x = 10 und für x = 30.
Für x=30 ist das Volumen Null, da dann kein Boden mehr vorhanden ist. Also muss das größte Volumen erreicht werden für x = 10. Da ist das Volumen V(10)= (4*100-240*10+3600)*10= 16000 cm³. Und die Probe kommt auch hin: Grundfläche: 40*40, Höhe 10, macht 16000 cm². Für x = 9 kommt raus V(9)=15876 und für eine Ecke von 11 cm ergibt sich V(11)= 15884,da liegt 10 doch schön in der Mitte!
Viele Grüße
Elke Ammermann

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Hallo Takeo2,

das ist eine wirklich interessante Aufgabe, denn Deine Intuition täuscht Dich: Die Lösung ist kein Würfel!!!

Ich verstehe die Aufgabe so, dass an den Ecken jeweils ein quadratisches Stück ausgeschnitten werden soll. Nennen wir die Seitenlänge dieses quadratischen Stücks x. Das suchen wir also.

Wie sieht dann das Volumen der Schachtel aus? Grundfläche mal Höhe. Wenn wir auf beiden Seiten je einmal x abschneiden, ist die Kantenlänge der Grundfläche also 60cm-2x. Die Höhe der entstehenden Schachtel ist genau x. Also ist das Volumen der Schachtel (ich lass die cm mal weg): ((60-2x)hoch2)*x. Wenn du einen Würfel falten würdest, wären das Volumen also 20*20*20 = 8000 ccm.
Nun betrachten wir das Volumen als Funktion von x, und lösen es als Extremwertaufgabe. Ich lass mal einige Rechenschritte weg, da es Dir ja nur ums Prinzip ging:
f(x) = ((60-2x)hoch2)*x = 4xhoch3-240xhoch2+3600x. Erst Ableitung: f’(x) = 12xhoch2-480x+3600. Nullstellen bei x1=10 und x2=30.
Die zweite Ableitung: f’’(x) = 24x-480 ist bei x1 kleiner Null, bei x2 größer Null. Also:
x1 ist rel. Maximum, x2 rel. Mimimum. x2 würde bedeuten, Du würdest vier Quadrate mit je 30cm Kantenlänge wegschneiden, dann bleibt nichts mehr für die Schachtel übrig, also Volumen Null.
–> Die Lösung Deiner Aufgabe ist x1=10cm. Du schneidest vier Quadrate mit je 10cm Seitenlänge weg. Die Schachtel hat dann das Volumen 40*40*10=16000 ccm, also doppelt so viel wie bei Deiner Schätzung mit dem Würfel!!!
Anmerkung: Formal haben wir bisher nur das relative Maximum berechnet; wir müssten noch die Funktionswerte an den Grenzen des Definitionsbereichs (0;30) ermitteln; da kommt aber jeweils Null raus. Ich weiß nicht, ob Dein Lehrer so pingelig ist, aber vielleicht kannst Du Die einen Extra-Punkt damit verdienen.
Zweite Anmerkung: Eine andere Aufgabe wäre, mit möglichst wenig Papier eine quaderförmige Schachtel zu falten. Da käme dann tatsächlich ein Würfel bei raus. Geht auch mit Extremwert-Rechnung zu beweisen.

Ich hoffe, ich konnte Dir helfen. Ansonsten schreib mir nochmal.

Viele Grüße

Mikus.