Hallo!
Ich wollte eine Aufgabe über Extremwertberechnung einmal nicht mit
Analysis, sondern mit der Ungleichung von arithmetischem und geometrischem
Mittel lösen.
Die Ungleichung lautet:
(a+b)/2 >= (ab)^0,5 ab == 0
(Gleichheit gilt bei a=b)
Allerdings habe ich nicht die richtige Lösung herausbekommen, also
bitte ich Euch um Hilfe meinen Fehler zu finden!
Hier die Aufgabe:
Es seien die 2 Funktionen f1(x) = -x^2 + 2 und f2(x) = 2*(x^2) - 10.
In die von den Graphen begrenzte Fläche sollen Rechtecke einbeschrieben
werden, deren Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen.
Gesucht sind die Längen desjenigen Rechteckes, das den größten Flächen-
inhalt besitzt.
Und hier mein Versuch:
1.) Sei a die Länge der zur y-achse parallelen Rechtecks-Seite und b die
der zur x-achse parallelen Seite. [a,b >= 0]
Es gilt:
a = f1(x) - f2(x) = -3*x^2 + 12 und x(a) = (4 - a/3)^0,5
b= 2*x(a) = 2(4 - a/3)^0,5
also b^2 = 16 - 4/3*a
und 4/3*a + b^2 = 16
2.) a*b = max a*b^2 = max (4/3*a)*(b^2) = max [b \>= 0]
Wegen der o.g. Ungleichung gilt:
(4/3*a)*(b^2) = b = 8 ^0,5
sowie 4/3*a = 8 a = 6
Die offizielle Lösung heißt aber a = 8 und b = 4/3*(3^0,5)
Wo liegt mein Fehler?
Danke und Gruß
Roman
2.) a*b = max a*b^2 = max
Diese Äquivalenz stimmt nicht. Du behauptest, dort wo der Ausdruck ab ein Max. hat, hat ab² ein Max. und umgekehrt. Das ist aber nicht zwangsläufig so. Du mußt beachten, daß sowohl a als auch b Unbekannte sind, und wenn Du an einer Variablen herumspielst (quadrierst), weißt Du überhaupt nicht, was passiert. Dein weiterer Gedankengang (und das vorher) scheint mir in Ordnung, aber Du kennst ja die Implikation: Aus einer falschen Annahme kann man auch etwas Falsches schließen.
Gruß
Marco
2.) a*b = max a*b^2 = max
Diese Äquivalenz stimmt nicht. Du behauptest, dort wo der
Ausdruck ab ein Max. hat, hat ab² ein Max. und umgekehrt. Das
ist aber nicht zwangsläufig so. Du mußt beachten, daß sowohl a
als auch b Unbekannte sind, und wenn Du an einer Variablen
herumspielst (quadrierst), weißt Du überhaupt nicht, was
passiert.
Ich habe darüber nachgedacht:
wenn b^2 maximal werden soll, muss doch b maximal werden, oder?
wenn b nicht maximal ist, gibt es ein größeres b’= (b+x) [x >= 0]
und (b’)^2=(b+x)^2 = b^2 + 2bx + x
Und da gilt b,x >= 0 ist (b’)^2 > b^2, also ist b^2 nicht maximal.
Damit b^2 maximal wird, muss b also auch maximal werden.
der punkt ist doch, dass b ja per Definition positiv ist und deswegen
die Umformung äquivalent sein müsste.
außerdem ist ein produkt doch maximal, wenn die beiden faktoren maximal
sind.
a * (b+x) = a*b + ax und da x >= 0 ist ax >= 0 und a*(b+x) >= a*b
ist b also nicht maximal ist ab also auch nicht maximal.
folglich ist b^2(4/3*a) nur dann maximal wenn auch a*b maximal ist.
Oder?
2.) a*b = max a*b^2 = max
Diese Äquivalenz stimmt nicht. Du behauptest, dort wo der
Ausdruck ab ein Max. hat, hat ab² ein Max. und umgekehrt. Das
ist aber nicht zwangsläufig so. Du mußt beachten, daß sowohl a
als auch b Unbekannte sind, und wenn Du an einer Variablen
herumspielst (quadrierst), weißt Du überhaupt nicht, was
passiert.
Daran dachte ich zuerst auch, aber eine Quadrierung (genauso wie eine Skalierung (4/3*a) ist eine monotone Funktion, d.h. an welcher Stelle der Maximalwert auftritt, hat damit nichts zu tun. (er hat auch korrekt angegeben, dass b>=0 !!)
ich bin noch dran, aber interessanter Ansatz, mit dem Extremalwertansatz aber viel schneller zum Ergebnis gekommen!
islaminhannover.de
Hallo,
betrachten wir die Sache doch mal ganz naiv:
Wir haben eine Funktion z1=a*b und noch eine z2=a*b^2. Wir wissen, daß es einen Zusammenhang b=f(a) gibt. Also: z1=f(b)*b und z2=f(b)*b^2.
Wenn ich mich recht erinnere, muß die Ableitung Null werden, wenn eine Fkt. max. sein soll.
Es ist: z1’=f’(b)*b+f(b) und z2’=f’(b)*b^2+2b*f(b).
Diese beiden Ausdrücke Null zu setzen führt einfach nicht auf dieselben Gleichungen! z1 und z2 haben also i. allg. verschiedene Extrema.
Gruß
Marco
Du leitest nach b ab, obwohl b keine Laufvariable, sondern selbst eine Funktion ist!! In unserem Fall ist b(x)=2*x; Das Maximum davon liegt im unendlichen! Das Maximum von b^2 liegt auch im unendlichen!!
ein besseres Beispiel wäre das folgende: b(x)=sin(x)+1;
+1, da die sin-funktion teilweise negative werte annimmt. Die Maximalwerte von b(x) und b^2(x) liegen dabei an denselben Stellen.
Ich glaube nicht, dass das sein Problem ist.
aber das Problem ist sehr *schön*…
islaminhannover.de
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Ich glaube nicht, dass das sein Problem ist.
Doch ist es, weil der Rest der Rechnung OK ist. Aber das Ergebnis ist falsch. Wo soll der Fehler sonst liegen? Fakt ist, daß Roman die Behauptung benutzt hat, daß ab und ab² immer dieselben Maxima haben. Das kann in Spezialfällen so sein. Aber man kann unendlich viele Gegenbeispiele konstruieren, was die Behauptung widerlegt.
Gruß
Marco
Ich glaube nicht, dass das sein Problem ist.
Doch ist es, weil der Rest der Rechnung OK ist. Aber das
Ergebnis ist falsch. Wo soll der Fehler sonst liegen? Fakt
ist, daß Roman die Behauptung benutzt hat, daß ab und ab²
immer dieselben Maxima haben. Das kann in Spezialfällen so
sein. Aber man kann unendlich viele Gegenbeispiele
konstruieren, was die Behauptung widerlegt.
tut mir leid, immer noch nicht überzeugt:
nehmen wir an, wir haben eine Funktion b(x). Deren Ableitung ist bekanntlich b(x)’. Nun quadrieren wir die Funktion (b(x)^2) und leiten sie ab: (b(x)^2)’=2*b(x)*b’(x)
d.h. an jeder Stelle, an der die Originalfunktion ein Extrem hatte, hat auch das Quadrat der Funktion ein Extrem. Und wenn b(x) ungleich 0 ist, dann sind auch alle Extremstellen der quadrierten Funktion auch die der Originalfunktion.
ich hoffe, wir können das noch lösen, das wird spannend!!
bis dann,
islaminhannover.de
Hi!
Danke, dass du so für meine These kämpfst, aber mich hat Marco überzeugt.
nehmen wir an, wir haben eine Funktion b(x). Deren Ableitung
ist bekanntlich b(x)’. Nun quadrieren wir die Funktion
(b(x)^2) und leiten sie ab: (b(x)^2)’=2*b(x)*b’(x)
d.h. an jeder Stelle, an der die Originalfunktion ein Extrem
hatte, hat auch das Quadrat der Funktion ein Extrem. Und wenn
b(x) ungleich 0 ist, dann sind auch alle Extremstellen der
quadrierten Funktion auch die der Originalfunktion.
Stimmt!
Das bedeutet allerdings nur, dass b = max b^2 = max
Das Problem, das wir haben, ist aber, dass wir zusätzlich noch das a
haben, das wie Marco schon richtig gesagt hat als Funktion abhängig
von b beschrieben werden kann.
Machen wir ein einfaches Beispiel:
a=30-b (enspricht ungefähr der wirlichen aufgabe, da auch hier b sich
negativ auf a auswirkt)
dann gilt f(b)=a*b = 30b-b^2 und f’(b)=30-2b
f’(b)=0 b=15
bei a*b^2 haben wir aber g(b)=a*(b^2)=30b^2-b^3 u. g’(b)=60b-3b^2
g’(b)=0 b=0 oder b=20
schade, dass mein ansatz nicht geklappt hat, aber habt ihr
eine idee, wie man die aufgabe dennoch mit Hilfe der Ungleichung
lösen kann?
schade, dass mein ansatz nicht geklappt hat, aber habt ihr
eine idee, wie man die aufgabe dennoch mit Hilfe der
Ungleichung
lösen kann?
Mal so en passant nicht, aber was mißfällt Dir am Ableiten?
Gruß
Marco