Hallo Karl
Mich beschäftigen dzt. Funktionen in 2 unabh. Variablen, und
da habe ich folgende Frage:
Gegeben : z = f(x,y)
-)ich ermittle zx und zy (die ersten partiellen
Ableitungen)
-) setze die beiden gleich 0
Ok., Du ermittelst also die Steigung der Schnittkurve der durch z = f(x,y) gegebenen Funktion mit den Ebenen x=konst (==> z_y) bzw. y=konst (==> z_x)
Setzt Du diese beiden partiellen Ableitungen (die die Lage der Tangentialebene bestimmen) Null, so bedeutet dies: Du sucht alle Punkte, an denen sich die Tangentialebene waagrecht an die Fläche anschmiegt.
-) Ermittle x und y
-) Erhalte einige Punkte (z.B. 4 Stück)
-) Laut Mathematik habe ich nur einen Extremwert vorliegen
wenn:
zxx mal zyy - (zxy)^2 > 0 ist !!!
Nur in diesem Fall behält der Korrekturterm aus der Taylorentwicklung dasselbe Vorzeichen (Bei Überschreiten des untersuchten Punktes in beliebige Richtungen).
-) 2 meiner Punkte erfüllen das Kriterium und sind Min oder
Max , OK (TEst über zxx,…)
-) Aber was ist mit den anderen Punkten ??? Was ist dort für
eine Stelle, wenn nicht ein Extremwert ??? (immerhin beide
partielle Ableitungen sind 0 )
Es könnte sich z.B. um einen sogenannten °Sattelpunkt° handeln. Stell Dir mal wirklich einen Sattel vor: Sitzt Du auf einem Pferd, so geht in der Richtung der Beine die Fläche nach unten, vor und hinter Dir nach oben (damit Du nicht runterfällst).
An dem Punkt, auf dem Du selber „sitzt“, besitzt diese Fläche zwar eine waagrechte Tangentialebene, sie weißt aber keinen Hoch- oder Tiefpunkt auf.
Um derartig „verdächtige“ Punkte zu untersuchen hilft manchmal eine Randwertuntersuchung (waagrechte Tangentialebene existiert z.B. mit f(x_0,y_0)=3 und Fläche geht in alle Richtungen für x und y gegen Unendlich gegen Null ==> Muß Maximium sein, falls keine weiteren Extrema existieren) oder die entsprechende Untersuchung höherer Ableitungen.
Hoffe Dir etwas geholfen zu haben
Helga
