Hallo,
kann mir jemand erklären, wie Integral funktioniert? Und auch zu den Extremwerten habe benötige ich Hilfe.
Fangen wir mal mit den Extremwerten an.
Ich hab hier ein paar Beispiele zum Üben. Eines davon ist:
Welche Abmessungen muss ein zylindrischer Behälter, der 1 Liter Inhalt aufnehmen soll, bezitzen, damit der Materialverbrauch (=Oberfläche) zur Herstellung des Zylinders möglichst klein wird?
Es reichen mir schon Gedankenanstösse oder auch das ganze an einem anderen Beispiel erklärt.
Das andere Thema ist Integral. Was ist beispielsweise die Substitution?
Ein Beispiel: Int((4*x-2)^2)dx (Int = Integralzeichen)
Die Lösung wäre hier (2* (2*x - 1)^3 ) / 3
Wie kommt man auf so eine Lösung?
Fangen wir mal mit den Extremwerten an.
Ich hab hier ein paar Beispiele zum Üben. Eines davon ist:
Welche Abmessungen muss ein zylindrischer Behälter, der 1 Liter Inhalt aufnehmen soll, bezitzen, damit der Materialverbrauch (=Oberfläche) zur Herstellung des Zylinders möglichst klein wird?
ZF: Oberflächeninhalt vom Zylinder ist glaube ich A=2*pi*r*(r+h)
NB: Volumen vom Zylinder V=pi*r^2*h V=1 1=pi*r^2*h
Dann stellste die Nebenbedingung nach r oder h um und setzt es in die Zielfunktin ein.
Als nächstes bildest du die erste Ableitung also A’
und rechnest den Extrempunkt aus (notwendige bed. und hinreichende bed.) umm dann noch h bzw r auszurechnen ( je nachdem nach welcher variablen du es umgestellt hast) setzt du dein Ergebinss in die Nebenbedingung ein.
zu den „Extremwerten“ … die Aufgabe, die sich Dir hier stellt, ist ein Extremalproblem.
In diesem Fall soll die Oberfläche eines Zylinders minimal werden. Um dieses Problem zu lösen, schau Dir doch mal als erstes an, wie sich die Oberfläche eines Zylinders berechnen lässt:
A_Z = M + 2 \cdot G = 2 \pi r \cdot h + \pi r^2
wobei r den Radius des Kreises (Grundfläche) und h die Höhe des Zylinders sind.
Diese Gleichung ist abhängig von 2 Variablen und so nicht eindeutig zu lösen.
Deshalb besinne Dich auf die weitere Information, dass das Volumen des Zylinders 1l fassen soll:
V_Z = \pi r^2 h = 1l = 1dm^3
Diese Gleichung entweder nach r oder h umstellen, in die Gleichung für den Oberflächeninhalt des Zylinders einsetzen.
Zur Bestimmung des Minimums dann diese Gleichung ableiten, Null setzen und nach der entsprechenden Variable umstellen. Diese dann nutzen, um die zweite fehlende zu bestimmen.
Die Integration durch Substitution … kann Dir hoffentlich jemand anderes genauer erklären als ich es auf die Schnelle hinkriege …
moin,
Ich nehme an das ihr kurvendiskussion schon hattet und du eine funktion ableiten kannst und die minimas und maximas bestimmen kannst.
Für die Extrem wert aufgabe musst du zuerst mal die Funktion für die Oberfläche aufstellen. Also die mantelfläche für den zylinder + die fläche des bodens und + eventuell das kommt in der aufgabe nicht klar raus die fläche für einen Deckel. denn bekommst du O=f(r,h) also eine funktion die von 2 veränderlichen abhängt deshalb ist bei solchen aufgaben immer eine nebenbedingung gegeben. in diesenfall steht das der Zylinder 1L fassen soll also stellst du die funktion für das volumen auf V=F(r,h) da du das volumen mit einen liter gegebenhast kannst du die Formel zu einer veränderlichen auflösen ich hab die mal gerechnet da habe ich die formel zu der höhe aufgelöst. naja dann setzt du die nebenbedingung in die formel für die oberfläche ein wodurch diese nur noch von dem radius oder der höhe abhängig ist(O=f® oder O=f(h)). jetzt musst du die Oberfläche nach h oder r ableiten die extrem punkte bestimmen daraus bekommst du die höhe oder den radius und durch einsetzen in die nebenbedingung bekommst du dann die 2. größe. probier das mal schritt für schritt aus ich hab die eben selbst gerechnet dauert auch net lange wenn du nich weiter kommst schreib was dir unklar ist.
Bei der substitution geht es darum die stammfunktion zu bekommen dazu kannst du für dein integral schreiben int((4x-2)^2dx)
int(u^2*du/4) mit u=4x-2 du/4=dx also du ersetzt dein 4x-2 durch beispielweise u und hast dann ein integral was du ganz einfach lössen kannst du musst aber auch ein „du“ und nich dx bekommen also musst du die substitution u nach x ableiten dadurchbekommst du/dx=4 und das setzt du für dein dx ein suchst für dein u die stammfunktion und setzt am ende für u wieder 4x-2 ein (rücksubstituieren).
also substitution is sowas wienen werkzeug um auf die stammfunktion zukommen wenn man ein integral hat wo 2 funktionen die von x abhängig sind multiplieziert werden bietet sich an die stammfunktion mitttel partieller integration zu lösen dazu gibt es hier im forum auch grade eine frage zu die schon beantwortet ist.
der nudelaraba
