Extremwertproblem - Reagenzglas

Wissenschaft Mathematik
#1

Moin,

Bin immernoch am lernen für die nächste Matheklausur und bei einer Aufgabe hängen geblieben, die mich fast an den Rande des Wahsinns treibt…

„Modeliere ein Reagenzglas mit 40cm³ und möglichst geringem Materialverbrauch…“

klingt irgendwie einfach… ist es aber nicht… (zumindest für mich :frowning: )

Die Extremalbedingung wäre dann ja (eben die Oberfläche für einen Kreiszylinder) A=2*pi*r(r+h)

Nebenbedingung
V=pi*r²*h
wobei V=40 cm³

was ich jetzt daraus geschlussfolgert hätte wäre das 40/(pi*r²) = h

warum haut das alles nicht hin und was muss man rechenn um das zu lösen?

wäre euch sehr dankbar für eine antwort! :smile:

Endy

#2

Moinmoin,

„Modeliere ein Reagenzglas mit 40cm³ und möglichst geringem
Materialverbrauch…“

Die Extremalbedingung wäre dann ja (eben die Oberfläche für
einen Kreiszylinder) A=2*pi*r(r+h)

Da ein Reagenzglas oben offen ist, gibt sich als Oberfläche nur
Oberfläche = pi*r²+2*pi*r*h

Nebenbedingung
V=pi*r²*h
wobei V=40 cm³

was ich jetzt daraus geschlussfolgert hätte wäre das
40/(pi*r²) = h

Ja, soweit richtig…

Und dann h durch 40/(pi*r²) ersetzen

Oberfl = f® = pi*r² + 2*pi*r*40/(pi*r²) = pi*r² + 80/r

und davon dann (mittels erster Ableitung) den Tiefpunkt berechnen…

Liebe Grüße
DaChwa

#3

moin…

du kannst davon ausgehen, dass ein Reagenzglas ohne Deckel geformt wird :wink:

daraus ergibt sich für den Oberflächeninhalt:
A=pi*r²+2pi*r*h

h eingesetzt:
A=pi*r²+80pi*r/(pi*r²)
=pi*r²+80/r

Davon die Ableitung nach r:
2pi*r-80/r²

Hiervon kannst du nun die Nullstellen berechnen und kommst damit auf die Extremwerte.

Hoffe ich hab mich da nirgendwo verrechnet, kann jedenfalls auf Anhieb keinen Fehler entdecken.

mfG

#4

mhh… da war ich ein wenig zu spät :smiley:
nunja ich konnte keine Unterschiede feststellen und hoffe damit meins ist auch richtig :smile:

netten Gruß :wink:

#5

du kannst davon ausgehen, dass ein Reagenzglas ohne Deckel
geformt wird :wink:

daraus ergibt sich für den Oberflächeninhalt:
A=pi*r²+2pi*r*h

Man kann aber auch davon ausgehen, dass der Boden in erster Näherung halbkugelförmig ist (zumindest ist das bei allen mir bekannten Reagenzgläsern der Fall). Daraus ergibt sich dann wieder
A=2·pi·r(r+h)

#6

Vielen dank euch beiden!
hat grad meine Laune gerettet, dass es wohl doch noch eine lösung für diese aufgabe gibt… trotzdem krieg ich immernoch etwas falsches raus, wenn ich eigentlich das selbe gemacht haben sollte wie ihr es getan habt…

wie gesagt, für A =pi*r²+2pi*r*h für h 40/pi*r² einsetzen

Also:

A=pi*r²+2*pi*r[40/(pi*r²)]

warum haut das wiederum, wenn ichs in den GTR (taschenrechner) eingebe nicht hin…? sollte doch das selbe sein wie das was ihr rausbekommen habt…

#7

Moin nochmal,

trotzdem krieg ich immernoch
etwas falsches raus, wenn ich eigentlich das selbe gemacht
haben sollte wie ihr es getan habt…

wie gesagt, für A =pi*r²+2pi*r*h für h 40/pi*r² einsetzen

Also:

A=pi*r²+2*pi*r[40/(pi*r²)]

warum haut das wiederum, wenn ichs in den GTR (taschenrechner)
eingebe nicht hin…? sollte doch das selbe sein wie das was
ihr rausbekommen habt…

Also wenn ich das in MEINEN GTR eintippe, dann bekomme ich eine wunderschöne Kurve mit Tiefpunkt bei ca 2,34 raus, was ich rechnerisch auch raushabe.

rechnerisch:
f®= pi*r² + 80/r
f’®= 2*pi*r - 80/r²
0 = 2*pi*r - 80/r²
80/r² = 2*pi*r
40/pi = r³
r= 3.wurzel(40/pi) =2,335…

f’’(3.wurzel(40/pi))=6*pi => tatsächlich der gesuchte Tiefpunkt.

Liebe Grüße
DaChwa

#8

Natürlich ist das Volumen dann V=pi·r²(h+2·r/3).

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#9

Man kann aber auch davon ausgehen, dass der Boden in erster
Näherung halbkugelförmig ist (zumindest ist das bei allen mir
bekannten Reagenzgläsern der Fall).

Hallo,

ich möchte noch ergänzen, dass man für den Fall eines Halbkugelboden-Reagenzglases die Lösung von vornherein kennt: Dessen Oberfläche ist dann minimal, wenn es ausschließlich aus dem Halbkugelboden besteht. Der Grund: Da eine Kugel die Form mit dem kleinsten O/V-Verhältnis von allen ist, ist jedes Stück Oberflächenmaterial besser im Halbkugelboden „investiert“ als im zylinderförmigen Teil darüber. Die gesuchte Geometrie wäre dann also eine Halbkugelschale.

Bei einem Reagenzglas mit ebenem Boden muss man die Lösung errechnen, mit dem Ergebnis r = h.

Gruß
Martin