Hallo!
Hatte heute als angehender Physiker (und somit als jemand der Mathematik ein bisschen anwendungsorientierter verwendet) mit einem Mathematiker eine interessante Diskussion, bei der wir auf kein Ergebnis gekommen sind.
Er wollte mir etwas erklären (weiß nicht mal mehr was =) und benutzte folgende Einschränkung: Er betrachte nur Funktionen die umkehrbar sind (daraus folgt für mich bijektivität auf dem betrachteten Intervall und auch stetigkeit) die differenzierbar sind und für deren Umkehrfunktion gilt, dass diese wieder stetig und differenzierbar sind.
So nun zu meinen Fragen:
1.) Ist der letzte Teil nicht redundant formuliert? Denn eine auf [a,b] stetige funktion ist doch auf (a,b) diffbar, oder nicht? Naja ich vermute jetzt mal, dass es hier genau um die Ränder der Menge geht.
2.) Nun behauptete ich gehört zu haben (und fände es logisch), dass jede Funktion, die die obigen Vorraussetzungen erfüllt (bijektiv, stetig, diffbar, umkehrbar) eine Umkehrfunktion besitzt, die wieder stetig und diffbar ist (ich lasse die Intervalle und deren Ränder jetzt mal frei schweben, falls es hier unsauberkeiten gibt, bitte ich diese auszubessern).
Er meinte, dass könnte man nicht allgemein sagen.
Dann forderte ich erfolglos ein Gegenbeispiel…
Also wer kann die Frage beantworten und ggf ein Gegenbsp bringen?
lg
Alexander
Ps Hoff es stört nicht, dass ich weder eine Bsp durchgerechnet haben will noch dass es sich um kein HÜ Bsp handelt =)
Moin,
differenzierbar sind und für deren Umkehrfunktion gilt, dass
diese wieder stetig und differenzierbar sind.
So nun zu meinen Fragen:
1.) Ist der letzte Teil nicht redundant formuliert? Denn eine
Nein.
auf [a,b] stetige funktion ist doch auf (a,b) diffbar, oder
nicht? Naja ich vermute jetzt mal, dass es hier genau um die
Ränder der Menge geht.
f:y = \begin{cases}x: & x
Betrachte diese Funktion in [0,2] und sag mir die Ableitung in 1 - stetig ist sie aber wohl. Selbiges gilt für die Umkehrfunktion.
Gruß,
Ingo
Guten Abend,
f:y = \begin{cases}x: & x
Betrachte diese Funktion in [0,2]
du meinst doch sicher das, denn sonst ist es an der Stelle 1 nicht stetig…
f:y = \begin{cases}x: & x
oder steh ich grad total am schlauch?!
Grüße,
Schigum
Moin,
du meinst doch sicher das, denn sonst ist es an der Stelle 1
nicht stetig…
f:y = \begin{cases}x: & x
Hast natürlich Recht. Danke!
Gruß,
Ingo
Er betrachte nur Funktionen
die umkehrbar sind (daraus folgt für mich bijektivität auf dem
betrachteten Intervall und auch stetigkeit)
Aus Umkehrbarkeit (=Bijektiv) folgt keine Stetigkeit
z.B. f(x)= x (0
HI
Ok,
Ihr habt meine Unwissenheit entdeckt, aber bis jetzt finde ich keine Antwort zu Umkehrfunktion, also zum eigentlichen Teil meiner Frage…
lg
Alex
Ihr habt meine Unwissenheit entdeckt, aber bis jetzt finde ich
keine Antwort zu Umkehrfunktion, also zum eigentlichen Teil
meiner Frage…
Wenn Du mit eigentlichem Teil meinst
dass jede Funktion, die die bijektiv,
stetig, diffbar, umkehrbar eine Umkehrfunktion besitzt, die wieder
stetig und diffbar ist
dann hast Du vermutlich recht, jedenfalls in „R“.
Hallo!
dass jede Funktion, die die bijektiv,
stetig, diffbar, umkehrbar eine Umkehrfunktion besitzt, die wieder
stetig und diffbar ist
dann hast Du vermutlich recht, jedenfalls in „R“.
Hat er leider nicht. Wir nehmen f(x)=x^3. Das ist auf ganz R stetig und differenzierbar, es ist auch bijektiv und damit umkehrbar.
Die Umkehrfunktion lautet je nach Wurzelkonvention f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x} oder f^{-1}(x)=\sgn(x)\cdot\sqrt[3]{|x|}.
Diese Umkehrfunktion ist zwar auch überall stetig, nicht jedoch differenzierbar (nämlich nicht in x=0).
Die Stetigkeit sollte, soweit ich das im Augenblick überblicken kann, nicht verloren gehen. Allerdings ist mir ein schneller, eleganter Beweis eben nicht gelungen, wenn also jemand ein Beispiel hat, wo auch die Stetigkeit verloren geht, überrascht mich das nicht besonders.
Liebe Grüße
Immo