Injektiv heißt ja, dass nicht zwei Urbilder auf
dasselbe Bild abgebildet werden können.
Jedes Element der Bildmenge wird höchstens einmal (oder auch gar nicht) als Funktionswert angenommen
Surjektiv
heißt, dass alle Elemente der Zielmenge auch wirklich als Bild
vorkommen.
Jedes Element der Bildmenge wird mindestens einmal (oder mehrmals) als Funktionswert angenommen
Zu jedem y € Bildmenge gibt es mindestens ein x € Urbildmenge, für das gilt: f(x)=y
Jetzt nehmen wir uns mal die Menge {1,2,3,4,5} sowohl als
Urbildmenge als auch als Zielmenge. Wenn wir nun so abbilden,
dass alle fünf Zahlen auch als Bild von irgendwas vorkommen,
dann können sie auch nur einmal vorkommen (schließlich hab ich
nur fünf Elemente zur Auswahl, die ich abbilden kann).
Andersherum, wenn wir jedes Element höchstens einmal als Bild
vorkommen lassen, dann brauchen wir zu 5 Urbildern auch 5
Bilder, also muss jede Zahl Bild von irgendwas sein.
Bei gleichmächtigen Mengen sind also Injektivität und
Surjektivität äquivalent.
Was mir bei diesem Beispiel nicht klar ist: Wenn ich gleichmächtige Mengen habe, muss ich doch nicht zwangsläufig eine bijektive Abbildung haben, denn ich kann ja - nehmen wir Dein Beispiel - z.B. der 1 sowohl die 3, als auch die 5 zuordnen, somit hab’ ich eine surjektive, aber keine injektive Abbildung.
Nun sehen wir uns mal die gleichdimensionalen Vektorräume und
den entsprechenden Beweis an:
Wenn dim V = dim W, heißt das, dass jede Basis von V und jede Basis von W gleichmächtig sind, d.h. sie haben dieselbe Anzahl von linear unabhängigen Basisvektoren. Innerhalb der Vekotrräume V bzw. W sind ja sowieso alle Basen gleichmächtig.
Der Vektorraum {0} ist ja nulldimensional. Wenn
also ker(f) dasselbe ist wie {0}, dann ist ker(f) automatisch
nulldimensional.
Stimmt, denn dim {0} = 0 … haben wir ja so definiert.
img(f) = W = V (???)
Das „= V“ streichen wir mal gleich wieder, das ist nämlich
nicht vorausgesetzt.
Das hab’ ich auch fälschlicherweise einfach hinzugefügt ^^
Wichtig ist, dass img(f)=W ist.
Warum?
Nun, Du stellst Dir doch sicher einen Vektorraum als
„richtigen“ Raum vor, also einen 1-dimensionalen VR als
Gerade, einen 2-dimensionalen als Ebene und einen
3-dimensionalen als, nun ja, das, was man halt „Raum“ nennt.
Um ehrlich zu sein, versagt bei mir in LA die Anschauung langsam. Natürlich, die Endomorphismen f: V -> V mit V = R³, V = R² oder V = R kann man sich noch vorstellen, meinetwegen auch noch wenn es normale Homomorphismen sind, aber sonst …
Dann hast Du bestimmt einmal bewiesen, dass img(f) ein
Untervektorraum von W ist
Das haben wir definiert! Also nicht bewiesen …
Und wie stellst Du Dir jetzt einen UVR vor?
Wahrscheinlich als Ursprungs-irgendwas. Ein 1-dimensionaler
UVR ist also eine Gerade im VR, die den Ursprung enthält; ein
2-dimensionaler UVR ist eine Ursprungsebene.
Und nun versuch einmal, eine Ursprungsgerade in einen
1-dimensionalen VR (der selbst eine Gerade ist) zu legen. Was
stellst Du fest? Richtig, Deine Ursprungsgerade füllt den
ganzen VR aus.
Wie sieht das mit einer Ursprungsebene im 2-dimensionalen VR
aus? Und ein 3-dimensionaler Raum, der im 3-dimensionalen Raum
enthalten ist, füllt den doch auch ganz aus.
Bei einem UVR versagt meine Anschauung komplett … so wie bei vielen Themen in LA, z.B. der Orbit, der Stabilisator, die Konjugationswirkung, die Gruppenwirkung, usw. … aber das ist ja nun nicht Gegenstand der Diskussion 
Von der Anschauung her stimmt’s also schon mal. Und
mathematisch? Nun ja, wenn W n-dimensional ist, heißt das,
dass jedes System linear unabhängiger Vektoren höchstens n
Elemente besitzt.
>>System f isomorph:
Sei f surjektiv, dann ist dim img(f)= n (warum?).
Na, wie gesagt, die Definition der Surjektivität ist doch:
Jedes Element aus der Zielmenge kommt als Bild vor, d.h. in
Symbolen: img(f)=W.
Wenn aber img(f) dasselbe ist wie W, dann muss auch die
Dimension von img(f) dieselbe sein wie die von W, und die ist
nun mal n.
OK.
Noch eine ganz andere Frage:
Ich hab’ hier in meinem Skript das Basisaustauschlemma:
Sei V K-VR, dim V endlich, B= {v 1 , … , v n} eine endliche Basis von V, w= Summe über a i * v i ein weiterer Vektor und i 0 € {1 , … , n} so, dass a i 0 ungleich 0. Dann ist B’= (B{v i 0} vereinigt {w} eine Basis, also B’= {v 1 , … , v i 0 , … , v n, w}.
Da scheint doch die letzte Formulierung von B’ falsch zu sein, oder nicht? Muss es nicht vielmehr heißen:
B’= {v 1 , … , v i 0 - 1, w , v i 0 + 1, … , v n} ?
Ich hoffe, man kann die Indizes erkennen und richtig zuordnen 
