F o g => g injektiv ?

[Sebi]

Hi zusammen,
ich versuche gerade obiges zu beweisen, bekomme aber herraus das nicht nur g sonden g und f injektiv sein müssten.

Kurz:
a … e aus R
f … z injektive Funktionen von N->M

f o g = f(g(a))
Für injektiv muss ja folgen
a != b => h(a) != h(b)
bzw.
a = b => h(a) = h(b)

auf obigen Fall übertragen
a = b => f(g(a)) = f(g(b))

Überlegung… N sei = {1,2,3} => #N = 3
dann muss M mindestens dreielementig sein. => #M >= 3

Angenommen g sei nicht injektiv, nur f injektiv
sagen wir z.B. g(1)=g(2)=1.
=>f(g(1)) = f(g(2))
Das kann es also schon mal nicht sein.

Angenommen f sei nicht injektiv, nur g injektiv
sagen wir z.B. f(1)=f(2)=1.
Der übersichtlichkeit halber schreibe ich jetzt:
1’=(g(1))
2’=(g(2))
d.h. es steht jetzt da f(1’) != f(2’)
bzw.
f(1’) != f(1’)

Muss da nicht auch f injektiv sein.
Wie könnte es anders sein ?

Unser Dozent
hat als Merkregel nur

f o g => g injektiv

notiert und nicht

f o g => f,g injektiv

Was stimmt ?

Danke & Gruß Sebastian

[Sebi]

Ja tatsächlich unser Dozent hat da wohl einen Fehl
er ich habs noch mal richtig nachgerechnet…
war mir intuitiv schon immer klar und hat als stöhrendes Gespenst sich jetzt wochenlang aus meinem Hirn nicht befreien können.

So jetzt ist aber klar, dass
aus f o g injektiv => f, g injektiv

Beweis:
o.E.d.A.
sei N={1,2} und M={1,2,3}
f,g Funktionen von N->M

Fall 1:
Seien f, g injektiv
z.B. o.E.d.A.
f(x)=x und g(x)=x => f o g injektiv
klar.

Fall 2:
Sei nur g injektiv
z.B. o.E.d.A.
f(x)=1 und g(x)=x
=>
f(g(x)) = 1
=> f o g nicht injektiv

Fall 3:
Sei nur f injektiv
z.B. o.E.d.A.
f(x)=x und g(x)=a
=>
f(g(x)) = konstante
=> f o g nicht injektiv

also muss ja wohl
gelten
aus f o g injektiv => f, g injektiv

Tschü Sebastian

[Sebi]

Oder noch einmal anders Argumentiert
weil ich glaube das was ich zuletzt hatte war doch noch kein richtiger Beweis (oder?).

Anschaulich Gesprochen, ist das Bild einer inj. Abb.
gleich groß seines Definitionsbereiches.

Und andersherrum
bei Jeder nicht inj. Abb. ist das Bild „kleiner“
als deren Definitionsbereich.

D.h. bei einer Verkettung von Funktionen müssen alle Bilder gleich groß dem Definitionsbereich sein (geht nur bei injektivität siehe oben)
da sonst information verlohren geht. Klar.
=> D.h. alle Funktionen müssen injektiv sein.

Nur wie drückt men Bildgröße mathematisch aus?

Kardinalität ist ja wohl nicht ausreichend ?

Hat man einen Kongreten Körper ist das sicherlich einfacher.
Z.B. bei endlichen Mengen, kann man genaud mit der Anzahl der elemente Argumentieren.

Und bei reelen Bereichen (Intervallen) könnte man den Abstand bzw. vielleicht die Intervalllänge nehmen?

Und ganz allgemein?

Danke & Gruß Sebastian

[Urs_Kollbrunner_793d41]

Hallo

Nur ganz kurze Anmerkungen:

Für injektiv muss ja folgen
a != b => h(a) != h(b)

Das ist richtig

bzw.
a = b => h(a) = h(b)

Das hat nichts mit Injektivität zu tun, sondern gilt für jede Abbildung. Du machst einen typischen Logikfehler:
Seien A und B Aussagen und es gilt A=>B (logische Implikation) dann gilt nicht automatisch (nicht A)=> (nicht B) sondern (nicht B) => (nicht A).

Allgemein gilt fog Injektiv folgt g Injektiv
Beweis: Annahme g nicht injektiv, dann existieren ab mit g(a)=g(b) und damit auch f(g(a))=f(g(b)) und damit ist fog nicht injektiv: Widerspruch.

Ein Beispiel:
g:{1,2}->{1,2,3}:x->x
f:{1,2,3}->{1,2}: 1->1, 2->2, 3->2
fog ist die Identität auf {1,2} und injektiv, f ist aber nicht injektiv.

Übrigens gilt weiter fog surjektiv, dann f surjektiv, denn das Bild von fog ist im Bild von f enthalten und erreicht f nicht alle Elemente, dann erst recht fog nicht.

Gruss Urs

[Holger_f05344]

Fehler! f o g injektiv => f injektiv ist falsch
Hallo Sebastian,

also muss ja wohl
gelten
aus f o g injektiv => f, g injektiv

ich bin entsetzt, so eine Form des Beweises hast Du doch wohl nicht im Studium gelernt, oder?
Ein paar schlampig hingekrakelte Beispiele und dann Folgerungen ziehen, sorry, aber das ist …

Hier ein Gegenbeispiel zu f injektiv:

f: R -> R, x -> x^2
also die „Normalparabel“ auf den reellen Zahlen, nicht injektiv!,
und
g: R+ -> R, x-> x
also die „Identität“ auf den positiven reellen Zahlen, injektiv!

Damit ist f o g : R+ -> R, x-> x^2
die Normalparabel, aber eingeschränkt auf die positiven reellen Zahlen, und damit injektiv, im Gegensatz zu f.

Tschü Sebastian

Ciao, Holger

[Sebi]

Ne … schau mal…
Hi Holger leider muss ich dir mit deinem Beweis widersprechen…

f(x)=x^2 nicht injektiv
und
g(x)=x injektiv

\ /
 \/
 +
 /
 /
 /
/
=
ist so leicht verschoben wieder eine schiefe Parabel.
Jedenfalls nicht injektiv.

======================================
Hier noch mal mein Beweis deutlicher:

Jeweils soll f o g injektiv sein.
Veranschaulichung mit endlichen Mengen:
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Beispiel 1:

L f(L) g(f(L) 
.. .. ..
|| || || 

. . .
. f . g .
. -------\> . -------\> .
. . .
=\> #L = #f(L)= #g(f(L) = 4
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Beispiel 2:

L f(L) g(f(L) 
.. .. ..
|| || || 
 . 
. . .
. f . g .
. -------\> . -------\> .
. . .

 D.h. #L = 4, #f(L)= 5, #g(f(L) = 4
 Es folgt Wiederspruch! Allgemein gilt für eine Abbildung 
#D \>= #g(D), bei uns müsste dann 4 \>= 5 sein.
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Beispiel 3:

L f(L) g(f(L) 
.. .. ..
|| || || 

. .
. f . g .
. -------\> . -------\> .
. . .

 D.h. #L = 4, #f(L)= 3, #g(f(L) = 4
 Es folgt Wiederspruch! Allgemein gilt für eine Abbildung 
#D \>= #g(D), bei uns müsste dann 3 \>= 4 sein.
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Beispiel 4:

L f(L) g(f(L) 
.. .. ..
|| || || 

. 
. f . g .
. -------\> . -------\> .
. . .

 D.h. #L = 4, #f(L)= 3, #g(f(L) = 3
 Es folgt Wiederspruch! 
 Für Injektivität gilt:
 a != b =\> fog(a) != fog(b) =\>
 keine zwei Bildpunkte sind gleich.
=\> #L = #fog(L)
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

Oder kanz kurz in einem Satz gesagt.
Allgemein geht keine Information verlohren (der Ursprung bleibt immer erkennbar).
Die Anzahl der Bildpunkte muss durchgängig gleich der Ursprungsmenge sein.
Also:
f o g =\> f,g injektiv
(zumindest für endliche Mengen, aber könnte es einmal nicht gelten?)
und nicht nur 
f o g =\> g injektiv

Das ist doch intuitiv jedem Offensichtlich gewesen - oder?
Ich verstehe nicht warum der Dozent nicht darauf eingegangen ist.

[Holger_f05344]

Hallo,

Hi Holger leider muss ich dir mit deinem Beweis
widersprechen…

f(x)=x^2 nicht injektiv
und
g(x)=x injektiv

\ /
/
+
/
/
/
/

ist so leicht verschoben wieder eine schiefe Parabel.
Jedenfalls nicht injektiv.

Willst Du mich veralbern?
Was soll dieses Herummalen, bitte benutz Argumente und keinen unverständlichen ASCII-Code.

Hier noch mal mein Beweis deutlicher:

Aber immer noch falsch
Beispiele sind keine Beweise, wenn mir einer so ein Übungsblatt abgeben würde bekäme er ganz einfach einen roten Strich durch und Null Punkte. Das muss man im ersten Semester bereits lernen: ein Beispiel ist KEIN Beweis.

Oder kanz kurz in einem Satz gesagt.
Allgemein geht keine Information verlohren (der Ursprung
bleibt immer erkennbar).

Herumgelabere!

Die Anzahl der Bildpunkte muss durchgängig gleich der
Ursprungsmenge sein.
Also:
f o g => f,g injektiv
(zumindest für endliche Mengen, aber könnte es einmal nicht
gelten?)

Ich habe dir oben bereits ein Gegenbeispiel gebracht.
Hier aber auch eines für endliche Mengen:

Es sei f: {0,1} -> {0} die Abbildung die sowohl 0 als auch 1 auf 0 abbildet, es sei g: {0} -> {0} die Abbildung die 0 auf 0 abbildet, damit ist f o g: {0} -> {0} die Abbildung die 0 auf 0 abbildet.
Dann sind g und f o g injektiv, aber f immer noch nicht.

und nicht nur
f o g => g injektiv

Das ist doch intuitiv jedem Offensichtlich gewesen - oder?
Ich verstehe nicht warum der Dozent nicht darauf eingegangen
ist.

Weil er Ahnung von Mathematik hat vielleicht?

Ciao, Holger

PS: Denk einfach mal gründlich darüber nach!

[Sebi]

Danke Holger
ich habs kapiert:

f o g : {-2,2} --\> {4-2,4+2}
f: {-2,2} --\> {4}, f(x) = x ^2 nicht injektiv
g: {-2,2} --\> {-2,2}, g(x) = x ist injektiv
=\> f o g ist injektiv 
und f NICHT injektiv aber g injektiv

LG Sebastian

[Sebi]

Warum tickt der (Noch)Nicht-Mathematiker anders
Ein Fall den ich in meiner Bildchen - Sprache vergessen hatte:

. . .
. g . f .
. -------\> . -------\> .
. . .
 (.) 
 (.) 

Die Elemente in den Klammern (.) werden nicht getroffen.

An diesen Stellen können ungünstigen Funktioneigenschaften sein.
Z.B. gerade NICHTinjektivität.

Zar gilt hier auch
=> #L = #f(L)= #g(f(L) = 4
und meine Betrachtung des Zusammenhangs von
Definitionsmenge und Bildmenge bleiben richtig,
aber ich habe den Fehler gemacht, diese als hinreichend für
meine Aussage über Injektivität zu nehmen.
Injektivität erweist sich hier als tükisch.

Den der gesunden Menschenverstand, denke nicht an Punkte die nie gebraucht werden
die nie gestreift werden… er hällt es nicht für praktisch oder erwähnenswert.
Da ist die Tücke.
Praktisch gesehen ist der Effekt ja der gleiche, im Result, wenn man sagt der
Definitionsbereich von g sei immer der Bildbereich von f.
Das darf man aber bei Injekttivität nicht vorraussetzen und das war die Falle in die ich getappt bin.

Auf die Art ist es immer leicht f o g zu konstruieren bei denen f nicht injektiv ist.
Z.B.
g o f: {1,2} --> {1,2}
f(x) = x,
und g(x) = x für x aus {1,2} sonst g(x) = Konstante

Man muss nur noch dafür sorgen das der Definitionsbereich bzw. Wertevorrat D von g
so definiert ist das {1,2} c D und {1,2} != D

Ist aber für Nicht-Mathematiker erst mal pathologisch… daher kahm ich auch nicht darauf dass es sowas geben könnte.
Und ich bin von Haus eher ein Praktiker und hasse Spizfindihkeiten

Meint Ihr auch da lag mein Fehler?

Aber unter der Vorrausetzung das alle Elemente jedes Deinitionsbereiches verwendet werden würden, müsste ja meine Behauptung
f o g injektiv => f, g injektiv stimmen

Hätter Ihr ja auch gleich sagen können, Ihr Mathe- Profies

Ich verstehe nicht warum der Dozent nicht darauf eingegangen ist.

Weil er Ahnung von Mathematik hat vielleicht?

Oder weil er Betriebsblind für das Denken von Nicht-Mathematikern geworden ist?

Beispiele sind keine Beweise, wenn mir einer so ein
Übungsblatt abgeben würde bekäme er ganz einfach einen roten
Strich durch und Null Punkte.

Interessante Holzhammer-Methode Humanist ?
Vielleicht verstehen deshalb manche so wenig und ungern Mathematik ?

Im Zweifelsfall für den Angeklagten

LG Sebastiasn

P.S. Ich studiere nicht Mathematik… obwohl es manchmal sogar Spass macht

[Martin_Heuschober]

Hi zusammen,
ich versuche gerade obiges zu beweisen, bekomme aber herraus
das nicht nur g sonden g und f injektiv sein müssten.

(>–>…inj, —>>…surj , >—>>…bij)
seien: g:X ----> U teilmenge von Y ,
f:Y ----> V teilmenge von Z, und
fog:X >—> Z , dan gilt in wirklichkeit:

g:X>—>U sowie
f:g(U)>—>V

martin

ich glaube, dass du das gemeint hast mit f muss auch injektiv sein