F(x):y=x+lnx/x

Wissenschaft Physik
1

Grüß Euch!

Ich bitte euch um eure Hilfe:
Ich finde zu dieser Funktion y=x+lnx/x keine nullstelle!!!
Es funktioniert nicht,dass ich einfach y"0" setze!

Wie findet man bei dieser f die Nullstelle???

Liebe Grüße

2

Huhum

Ich finde zu dieser Funktion y=x+lnx/x keine nullstelle!!!
Wie findet man bei dieser f die Nullstelle???

Mir ist keine analytische Lösung bekannt (was nichts zu sagen hat), daher würde ich ein numerisches Näherungsverfahren benutzen.

Zunächst überlegt man sich, in welchem Bereich ungefähr die Nullstelle liegen kann. Für diese Formel sieht man leicht, dass f(1)=1 und dass f(0) = -Inf, also muss die Nullstelle zwischen 0 und 1 liegen.

Mit einem Wert dazwischen fängt man dann an, die Nullstelle immer besser anzunähern. Das geht zB. mit dem Newtonsche Verfahren:

  1. Wähle ein x-Wert.
  2. Berechne den Schnittpunkt der Tangenten bei (x|f(x)) mit der x-Achse.
  3. nimm diesen x-Wert und gehe zu zwei, sofern sich der y-Wert noch nennenswert von Null unterscheidet.

Bsp:

Zunächst brauche ich die Ableitung y’ = df/dx = 1 + (1-ln(x))/x²

Ich setzte als Startwert x1 = 0.5
Der Funktionswert y1 ist y(x1) = -0.8862944
Die Steigung m ist y’(x1) = 7.772589
Der Schnittpunkt der Tangente mit der x_Achse ist der nächste, verbesserte Schätzwert (x2): x2 = x1 - y1/m = 0.5 - (-0.8862944)/7.772589 = 0.6140282

Zusammengefasst:

x2 = x1 - y1/m
x2 = x1 - y(x1)/y’(x1)

und mit einem allgemeinen Index i:

xi+1 = xi - y(xi)/y’(xi)

Damit erhalte ich folgende Reihe:

i x<sub>i</sub> y<sub>i</sub>
-------------------------------------------
1 0.5 -0.8862944
2 0.6140282 -0.1802584 
3 0.6504745 -0.01066335 
4 0.6529091 -0.00004138603
5 0.6529186 -0.0000000006276445
6 0.6529186 -0.0000000000000002220446 
-------------------------------------------

Nach 6 Iterationen ist hier schon die Rechengenauigkeit erreicht. Nach 5 Iterationen ist das Ergebnis auf 8 Stellen genau.

LG
Jochen

3

Super!!Danke!!

Das Newton’sche Näherungsverfahren,an das habe ich gar nicht gedacht…

Schönen Abend!

4

0=x+lnx/x
Hallo

Das hat laut „wxMaxmima“ folgende Nullstellen.
x=-Wurzelaus(-ln(x)) und
x=+Wurzelaus(-ln(x))
wxMaximan oder Maxima ist Freeware
Mfg
Oliver

5

Das hat laut „wxMaxmima“ folgende Nullstellen.
x=-Wurzelaus(-ln(x)) und
x=+Wurzelaus(-ln(x))

Aha, und hast du Maxima auch gesagt, es soll nach x auflösen? Weil das steht da irgendwie auf beiden Seiten… :smiley:.

Viele Grüße,
Sebastian