Fahrbarer Wagen

Wissenschaft Physik
#1

Moin,

in unserer Behinderten- Sportgruppe knobeln wir auch an Aufgaben herum (um nicht zu verkalken).
Eine können wir bis jetzt noch nicht lösen.

Ein fahrbarer Wagen mit einer Masse von 10 kg hat eine halbkreisförmige Aussparung mit einem Radius von 10 cm. In dieser Aussparung liegt unten im Ruhezustand eine Kugel mit 2 kg Masse.
Jetzt wird der Wagen mit der Kugel aus dem Stillstand mit 0,8g horizontal beschleunigt. Wie hoch steigt die Kugel aus der unteren Ruhelage hoch?
Reibung soll vernachlässigt werden.
Wir haben bis jetzt keine Lösung, da wir uns mit der Bedeutung der Wagenmasse nicht klar kommen.

Wer kann helfen?

roysy

#2

Hallo!

Es wundert mich nicht, dass Euch die Wagenmasse verwirrt, denn die braucht man für die Lösung gar nicht.

Die Aufgabe ist anschaulicher, wenn man versucht, sie im mitbeschleunigten Bezugssystem zu lösen. Dann wirken auf die Kugel genau drei Kräfte:

  1. Die Gewichtskraft
  2. Die Normalkraft (das ist die Stützkraft durch die halbrunde Unterlage. Von ihr kennen wir nur die Richtung. Sie wirkt im rechten Winkel zur Unterlage zum Kreismittelpunkt hin).
  3. Die Trägheitskraft aufgrund der Beschleunigung.

Die Gleichgewichtslage der Kugel während des Beschleunigungsvorgangs befindet sich dort, wo sich diese drei Kräfte aufheben. In anderen Worten: Man bildet die Resultierende aus Gewichts- und Trägheitskraft. Aus der Richtung dieser Kraft kann man auf die Richtung der Normalkraft schließen und daraus auf die Position der Gleichgewichtslage.

Wenn der Wagen aus der Ruhe mit konstanter Beschleunigung losfährt, dann rollt die Kugel aber nicht nur zur Gleichgewichtslage, sondern aufgrund ihrer Trägheit sogar darüber hinaus. Anschließend pendelt sie (ähnlich wie ein Fadenpendel) um ihre neue Gleichgewichtslage. Bei einer Beschleunigung von 0,8 springt die Kugel sogar aus dem Halbkreis heraus! (Das hat aber der Aufgabensteller bestimmt nicht bedacht.)

Wenn die Wagenmasse schon gegeben ist, dann könnte ich mir noch eine Aufgabe dazu vorstellen, die ungleich schwieriger ist: Wir legen die Kugel in die halbkreisförmige Aussparung des ruhenden Wagens jedoch nicht an den tiefsten Punkt. Nun lassen wir sie los. Wie bewegen sich Kugel und Wagen danach? Diese Aufgabe wäre schon Universitäts-Niveau in Klassischer Mechanik! (Das System hat zwei Freiheitsgrade. Wir brauchen also mindestens 2 gekoppelte Differenzialgleichungen zweiten Grades. Viel Spaß!)

Michael

#3

Hallo,

Jetzt wird der Wagen mit der Kugel aus dem Stillstand mit 0,8g
horizontal beschleunigt. Wie hoch steigt die Kugel aus der
unteren Ruhelage hoch?

Zeichnerisch: 22 mm.

Gruß:
Manni

#4

Hallo Manni, Michael hat recht mit dem Rausspringen aber bei langsam ansteigender Beschleunigung gleichen sich die Kräfte bei Arctan 0,8 aus. Der Cosinus dieses Winkels ist 0,7808, das von eins abgezogen ist 0,219 Dezimeter gleich 21,9 mm.

#5

Hallo Eckhart,

Michael hat recht mit dem Rausspringen aber bei
langsam ansteigender Beschleunigung gleichen sich die Kräfte
bei Arctan 0,8 aus. Der Cosinus dieses Winkels ist 0,7808, das
von eins abgezogen ist 0,219 Dezimeter gleich 21,9 mm.

so ganz ist die Lösung noch nicht „im Sack“.
Geht es nach dem Wortlaut der Frage -und so ist sie auch zu verstehen
Wie hoch steigt die Kugel aus der unteren Ruhelage hoch?
dann fehlen noch die Angaben des Kugeldurchmessers oder des
spezifischen Gewichtes.
Was ihr ausgerechnet habt ist der Ort des Berührungspunktes der
Kugel in Ruhelage bei der resultierenden Beschleunigungsrichtung
aus g und der Aktion.
Die Kugel selbst, also ihr Schwerpunkt,liegt etwas! niedriger und
zwar genau um r*(1-cos(artan(0,8)))-wenn r der Radius der Kugel ist.
Also z.Bsp.(extrem, damit der Fehler klar wird) eine Hohlkugel mit
r=9,9cm, um 21,7mm.
Auch ob und wie weit die Kugel „durchschwingt“ bei zu plötzlicher
Beschleunigung hat wohl auch etwas mit deren Radius zu tun - soweit
ich dies sehe.(dieser Hinweis an Michael)
Gruß VIKTOR

#6

Hallo!

Auch ob und wie weit die Kugel „durchschwingt“ bei zu
plötzlicher
Beschleunigung hat wohl auch etwas mit deren Radius zu tun -
soweit
ich dies sehe.(dieser Hinweis an Michael)

Ihre Bewegung hat ganz sicher mit ihrem Radius zu tun. Würde sie passgenau in die Mulde passen, dann würde sie sich wohl gar nicht bewegen.

Was das Herausspringen anbetrifft: Ich mag mich täuschen, aber ich dachte mir folgendes. Ich verwende mal folgende Bezeichnungen:

M: Mittelpunkt der halbkreisförmigen Mulde
A: Gleichgewichtslage in Ruhe, tiefster Punkt der Mulde
B: Gleichgewichtslage bei Beschleunigung (Der Winkel AMB beträgt - wie andere schon vor mir berechnet haben - 51,3°)

Drehen wir mal dieses Koordinatensystem in Gedanken, so dass die Linie MB das Lot bildet. (Den Wert von g korrigieren wir auf g’ = √(1² + 0,8²)). Wenn wir eine Kugel nun an den Punkt A legen und aus der Ruhe loslassen, dann verhält sie sich genau gleich, wie die ursprüngliche Kugel unter dem Einfluss der Trägheitskraft.

Theoretisch müsste die Kugel von A (51,3°) bis A’ (-51,3°) schwingen. Leider ist die Kugelbahn schon bei -(90° - 51,3°) = -38,7° zu Ende. Also springt die Kugel aus der Mulde heraus.

Du hast aber schon recht, dass der Kugeldurchmesser die Bewegung beeinflusst. Je weniger punktförmig die Kugel ist, umso mehr muss man ihre Rotationsenergie mitberücksichtigen. Das macht zwar keinen Unterschied für die Umkehrpunkte A und A’ (besser: deren Auslenkungswinkel), wohl aber für die Bewegung dazwischen, die um so weniger mit dem mathematischen Pendel gemeinsam hat, umso „kugeliger“ die Kugel ist.

Michael

#7

Hallo Michael,

Bei einer
Beschleunigung von 0,8 springt die Kugel sogar aus dem
Halbkreis heraus! (Das hat aber der Aufgabensteller bestimmt
nicht bedacht.)

diese Aussage solltest Du mal überdenken.
Wenn die Kugel die Position der theoretischen Ruhelage erreicht hat
errechnet wurde eine Berührungspunkthöhe von 22mm, der Schwerpunkt
dürfte aber zBsp.bei einer Eisenkugel (r=4cm)von 2kg etwa nur 13mm
angehoben sein - dann wechselt das angreifende Drehmoment das
Vorzeichen.
Die gespeichert Energie im Drehimpuls der Kugel bis zu diesem Punkt
dürfte bei a=0,8g nie ausreichen,um die Kugel mit ihrem Schwerpunkt
über den Rand zu treiben denn das gegen drehende Moment wäre ja dort
größer,als die Kugel anfangs aus Beschleunigung aus a=0,8g erfährt.
Die Kugel verläßt genau dann - und nur dann - die Halbschale
wenn a>g.
Um dies bildlich noch einmal anders vorzustellen (für Zweifler,
Du hast es wohl begriffen)
Mach aus der Halbschale eine Viertelschale und schwenke sie so, daß
sie „mittig“ unten aufliegt.
Setze sie einer Beschleunigung in der senkrechten Achsrichtung von
g*sqr(2) aus - das entspricht der resultierenden Beschleunigung
wenn a=g.Setze die Kugel an einen Rand und lasse sie los.
Sie wird also genau bis zu dem zum andern Rand rollen und nicht weiter.
Gruß VIKTOR

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#8

Hallo Michael

Was das Herausspringen anbetrifft: Ich mag mich täuschen,

ja, Folgendes ist Dein Gedankenfehler:

B: Gleichgewichtslage bei Beschleunigung (Der Winkel AMB
beträgt - wie andere schon vor mir berechnet haben - 51,3°)

Du mußt den Winkel vergleichen den die Kugel aus der unteren
Lage zurückgelegt hat. Dieser beträgt aber nur 38,7 Grad.
Kann passieren.

Du hast aber schon recht, dass der Kugeldurchmesser die
Bewegung beeinflusst.

Ja, aber ich habe mich damit geirrt,daß ich meinte, daß dies
das eventuelle „Herausspringen“ der Kugel beeinflussen würde.
Dem ist aber nicht so.
Gruß VIKTOR

#9

Hallo!

Was das Prinzip anbetrifft, da sind wir uns völlig einig. Ich hatte lediglich bei der Winkelberechnung blöderweise Ankathete und Gegenkathete verwechselt, wie Du in Deinem anderen Posting richtig erkannt hast.

Gruß, Michael

#10

Hallo Viktor, sakra, Du denkst aber an alles. Typischer Fall von Evolution, Lösungen entwickeln sich auch. Gruß, eck.

#11

Hallo,
Vorschlag.
Die Massen werden nicht benötigt.

Gruß:
Manni

[url=[http://www.bilder-hochladen.net/files/94cu-5-e4da-pd…](http://www.bilder-hochladen.net/files/94cu-5-e4da-pdf-nb.html][img]http://www.bilder-hochladen.net/files/94cu-5-e4da.pdf[/img][/url)]

#12

Hallo,

Danke für die Erklärung.
Wie ich jetzt sehe, braucht man die Massen überhaupt nicht.

roysy

#13

Moin,

so ganz ist die Lösung noch nicht „im Sack“.
Geht es nach dem Wortlaut der Frage -und so ist sie auch zu
verstehen
Wie hoch steigt die Kugel aus der unteren Ruhelage hoch?
dann fehlen noch die Angaben des Kugeldurchmessers oder des
spezifischen Gewichtes.

Mehr Angaben gab es zur Aufgabe nicht. Bei idealisierten Bedingungen (keine Reibung) kann man sicher die Kugel als Punktmasse annehmen, wenn keine weiteren Angaben vorliegen.
Dann entfallen die weiteren Gedankenexperimente.

Trotzdem vielen Dank für alle Antworten.

roysy

#14

Hallo,

so ganz ist die Lösung noch nicht „im Sack“.
Geht es nach dem Wortlaut der Frage -und so ist sie auch zu
verstehen
Wie hoch steigt die Kugel aus der unteren Ruhelage hoch?
dann fehlen noch die Angaben des Kugeldurchmessers oder des
spezifischen Gewichtes.

Mehr Angaben gab es zur Aufgabe nicht. Bei idealisierten
Bedingungen (keine Reibung) kann man sicher die Kugel als
Punktmasse annehmen, wenn keine weiteren Angaben vorliegen.

nein, Du selbst hast die Kugel mit 2kg angegeben was einem
Radius von ca 4cm (Eisen) bis 10cm (Holz) entspricht.
Bei Angabe des Materials wäre auch der genaue Radius gegeben und
damit die genaue Anhebung der Kugel.
Daß die Dichte eines schwarzen Loches gedacht ist meinst Du doch
auch nicht.

Dann entfallen die weiteren Gedankenexperimente.

Es ist die (meine)exakte Lösung entsprechend Deiner Anfrage.
Gedankenexperimente, welche nicht relevant wären, sind nicht
zu erkennen - es sei denn, Du wolltest es gar nicht richtig wissen.
Aber Du selbst hast ja den Massen eine Bedeutung zugedacht
da Du auch die Masse des Wagens benannt hast.
Gruß VIKTOR

#15

Hallo Michael

Ja, aber ich habe mich damit geirrt,daß ich meinte, daß dies
das eventuelle „Herausspringen“ der Kugel beeinflussen würde.
Dem ist aber nicht so.

dem ist aber doch so, hier irrte ich.
Meine erste Einlassung war doch richtig.
Wenn die Kugel den Rand erreicht hat muß sie noch die Energie
(den Drehimpuls) haben, um den Schwerpunkt über den Rand zu kippen.
(oder zu schieben, wenn die Kugel gleitet !)
Dieser wird dabei weiter angehoben, was natürlich auch wieder das
das Drehmoment aus a_h aufbaut.
Wäre auch eine interessante Aufgabe zu ermitteln,wie groß bei
welchem Radius a/g sein muß um die Kugel darüber zu kippen.
Ob da jetzt das Gleiche heraus kommt, wenn die Kugel dreht oder
nur gleitet habe ich noch nicht durchdacht - müßte eigentlich.
Gruß VIKTOR