Liebe/-r Experte/-in!!
Hallo, ich hätte mal ein paar Fragen zu eineigen Aufgaben. Wäre nett, wenn mir jemand antworten könnte.
1a) Bestimmen Sie für nachfolgend angegebene Polynome f,g ∈ R[x] zwei Polynome q,r ∈ R[x] mit
f = q · g + r und deg r
Ich finde diese Plattform ist nicht dafür gemacht, wöchentlich seine Hausaufgaben zu posten. Bitte wähle mich für diesen Zweck nicht mehr als Experte aus.
Gruß, dannick
Hallo Kris!
1a) Bestimmen Sie für nachfolgend angegebene Polynome f,g ∈
R[x] zwei Polynome q,r ∈ R[x] mit
f = q · g + r und deg r
2x^5 + 4x^4 - 12x^3 + 2x^2 + 6x - 12 = \underbrace{(2x^3 + 4x^2 - 8x + 10)}_{=q(x)} \cdot (x^2 - 2) + \underbrace{(- 10x + 8)}_{=r(x)}
b) Sei K ein Körper und g ∈ K[x] mit g≠ 0. Weiter seien die
Polynome f_n,q_n,r_n ∈ K[x] derart, dass f_n = q_n · g + r_n
und deg rn K[x] ein Ring ist und die Addition und die Multiplikation von Polynomen ausschließlich Ergebnisse liefern, die Elemente des Rings sind. Evtl. musst Du das noch genauer begründen. Ich weiß ja nicht, was ihr bislang für Sätze gehabt habt.
und bestimmen Sie q,
r ∈ K[x] mit f = q · g + r und deg r q:=q_1+q_2 und r:=r_1+r_2, dann gilt:
q \cdot g + r = (q_1+q_2) \cdot g + (r_1+r_2) = q_1 \cdot g + r_1 + q_2 \cdot g + r_2 = f_1 + f_2 = f
Es ist
\deg® = \deg(r_1+r_2) = \max \left \lbrace \deg(r_1), \deg(r_2) \right \rbrace \leq \deg(g)
weil \deg(r_1)\leq \deg(g) und \deg(r_2)\leq \deg(g) nach Voraussetzung.
Sind q, r
eindeutig bestimmt?
Ja. Das ergibt sich aus der Eindeutigkeit von q_1, q_2 und r_1, r_2. Und deren Eindeutigkeit folgt aus der Polynomdivision. Hierüber müsstet ihr eigentlich einen Satz gehabt haben.
- Faktorisieren Sie f(x):=(4x+8)(3x2−6)(2x2+4)∈K[x] für
K=Q,K=R und K=C(komplexe Zahlen) jeweils so weit als möglich,
d.h. stellen Sie f(x) jeweils als Produkt möglichst vieler
normierter Faktoren (und eines skalaren Faktors) aus K[x] dar.
Geben Sie jeweils die Nullstellenmenge N_K(f) an.Also hier hab ich mit Hilfe der Polynomdivision 24x^4-96 raus.
Wieso Polynomdivision? Was teilt Du hier denn durch was?
Es geht um eine Zerlegung des obigen Polynoms in möglichst viele Faktoren minimalen Grades. Wir formen zunächst mal um:
(4x+8)(3x^2-6)(2x^2+4) = 4(x+2) \cdot 3(x^2-2) \cdot 2(x^2+2) = 24 \cdot(x+2) \cdot (x^2-2) \cdot (x^2+2)
Sodann sind die Nullstellen zu berechnen. Die erste kannst Du direkt ablesen: -2 (aus (x+2))
Die Nullstellen von (x^2-2) sind \pm \sqrt{2} und die von (x^2+2) sind \pm \sqrt{2}i. Und dann brauchst Du nur noch entscheiden, welche dieser Nullstellen als Elemente von \mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C existieren und die Zerlegung von f in Faktoren minimalen Grades aufschreiben.
Die Zerlegung in \mathbb Qsteht ja faktisch schon oben als Ergebnis der Umforung. Das Polynom lässt sich nicht weiter zerlegen, da die Nullstellen der quadratischen Terme keine rationalen Zahlen sind. In \mathbb R lässt sich der Faktor (x^2-2) weiter in Linearfaktoren zerlegen, nicht aber (x^2+2). Dieser letzte Term ist erst in \mathbb C zerlegbar.
VG
Karsten
Vielen, vielen Dank dafür. Sie haben mir echt sehr damit geholfen.
Hallo Kris,
1a) Bestimmen Sie für nachfolgend angegebene Polynome f,g ∈
R[x] zwei Polynome q,r ∈ R[x] mit
f = q · g + r und deg r Polynomdivision durchführen. Weißt Du, wie das geht?
Also dazu habe ich r=-12 bzw. r=6x-12 gesetzt, denn ich muss
ja 2 Polynome bestimmen.
Die beiden Polynome, nach denen hier gefragt wird, sind q und r, und die sind eindeutig bestimmt! Du kannst r also nicht beliebig wählen.
b) Sei K ein Körper und g ∈ K[x] mit g≠ 0. Weiter seien die
Polynome f_n,q_n,r_n ∈ K[x] derart, dass f_n = q_n · g + r_n
und deg rn (3x^2-6) = 3\cdot(x+\sqrt2)\cdot(x-\sqrt2) und (2x^2+4) = 2\cdot(x+\sqrt2i)\cdot(x-\sqrt2i) ist, ist das über dem Körper Q der rationalen Zahlen nicht möglich, über dem Körper R der reellen Zahlen nur für den (3x^2-6). Über dem Körper C der komplexen Zahlen kann man alle Polynome in Linearfaktoren zerlegen.
Jetzt hab ich für N_Q(f)=N_R(f)={-2} raus, da es ja für
(24x^4-96) keine Nullstellen hat.
Wieso? x^4=4 hat doch zumindest relle Lösungen.
Für N_C(f)={-2, 4te Wurzel aus 4i und -4te Wurzel aus 4i}
… und die obigen Lösungen, die es schon über R gegeben hat.
Schöne Grüße,
Manfred
1a) mit normaler polynomdivision
1b) f := f_1 + f_2 in K[x], weil K[x] ringstruktur hat, also addition vollständig
f_n = q_n · g + r_n liefert 2 gleichungen. das
mit f = q · g + r vergleichen
2) nach der methode x^2 + 1 = (x+i)(x-i) bei |C z.b…
in |Q z.b. sind da nat. dann keine nullstellen
lg…
Hallo Kris,
die Stichpunkte für diese ganzen Zerlegungen sind Nullstellen, Linearfaktoren, Polynomdivision und Hornerschema.
Damit sollte man auch Polynome abspalten können, so dass die geforderten Formen entstehen.
Gruß
bo_bec
Hallo.
Liebe/-r Experte/-in!!
Hallo, ich hätte mal ein paar Fragen zu eineigen Aufgaben.
Wäre nett, wenn mir jemand antworten könnte.
1a) Bestimmen Sie für nachfolgend angegebene Polynome f,g ∈
R[x] zwei Polynome q,r ∈ R[x] mit
f = q · g + r und deg r
Hallo.
…
b) Sei K ein Körper und g ∈ K[x] mit g≠ 0. Weiter seien die
Polynome f_n,q_n,r_n ∈ K[x] derart, dass f_n = q_n · g + r_n
und deg rn
Hey Kris,
kleiner Tipp vorneweg: Kannst manche Fragen auch ins Forum stellen - da kriegst du schneller Antworten (bin in letzter Zeit bisschen eingespannt).
Zu deiner Frage:
1a)
Führe eine Polynomdivison durch, also:
(2x^5 +4x^4 −12x^3 +2x^2 +6x−12) : (x^2 - 2) = 2x^3 + …
Geht die Polynomdivision auf, ist der errechnete Term dein g(x) und r(x) = 0. Ansonsten musst du den Term aufsplitten in einen ganzrationalen Part (g(x)) und den gebrochenrationalen Part (r(x)).
Ich verstehe nicht, warum du alles ausmultiplizierst. Damit machst du dir die Aufgabe nur schwerer:
Bei der ersten Klammer 4 ausklammern, bei der zweiten 3 ausklammern und die Nullstellen berechnen (+ und - Wurzel(2)) und bei der letzten Klammer wieder 2 ausklammern und Nullstellen berechnen (+ und - i*Wurzel(2)).
Damit bekommst du dann dein Produkt:
f(x)= 4*3*2 * (x+2)*(x+Wurzel(2))*(x-Wurzel(2))*(x+iWurzel(2))*(x-iWurzel(2))
Gruß René
Hallo Kris,
zu 1a: warum nicht einfach dividieren. Es ist eine zusätzliche Einschränkung, wenn das Restpolynom r den konstanten oder linearen Rest beinhalten sollte.
1b ist was ganz Andres:
Weil K abgeschlossen ist und f_1, f_2 ∈ K dann auch f ∈ K.
Da deg r_n
Hallo Kris,
brr, die Uni ist schon eine Weile her. Und die Bücher finde ich gerade im Umzugswirrwarr nicht. Hoffe, es kann jemand anderes weiterhelfen.
Grüsse,
Martin